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주요 내용

합성 함수의 미분법으로 √(3x²-x)의 도함수 구하기

f(x)=√(3x²-x)는 함수 √x와 3x²-x가 합성된 함수입니다. 그러므로 합성 함수의 미분법으로 미분해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

이번 강의에서 할 내용은 연쇄법칙에 대한 공식입니다 그리고 이것을 구체적인 문제에 적용해봅시다 먼저 임의의 함수에서부터 시작할텐데 이것은 두 함수로 이루어져 있으며 f(g(x))로 표현할 수 있습니다 f(g(x))로 표현할 수 있습니다 이것은 두 개의 함수로 이루어진 합성함수입니다 색깔을 구분지어서 표현해 봅시다 이제 우리의 목표는 이 함수를 x에 대해 미분을 취하는 것입니다 연쇄법칙에 의하면 이것은 바깥쪽 함수를 안쪽 함수에 대해 미분한 것인 f '(x)가 아니라 f '(g(x))와 f '(g(x))와 안쪽 함수를 x에 대해 미분한 것의 곱으로 쓸 수 있습니다 이것은 매우 추상적이고 수학적으로 보입니다 연쇄법칙을 어떻게 적용할 수 있을까요? 실제 문제를 풀어봅시다 √3x²-x에 미분을 취한다고 가정해 봅시다 이 때 어떻게 함수 f와 g를 정의내릴 수 있을까요? 이 함수가 정말로 f(x)와 g(x)로 이루어진 합성함수일까요? f(x)는 √x로 정의하고 f(x)는 √x로 정의하고 g(x)는 3x²-x로 정의한다면 f(g(x))는 무엇이 될까요? f(g(x))는 이해를 돕기 위해 색깔을 구분 지어서 나타내면 f(g(x))는 f(x)의 x자리에 g(x)를 치환한 것이므로 결과적으로 √3x²-x가 됩니다 √3x²-x가 됩니다 따라서 이런 식으로 f(x)와 g(x)를 정의하면 f(g(x))를 우리가 원하는 함수로 만들 수 있습니다 이제 연쇄법칙을 적용해봅시다 이 문제에서 f를 g에 대해 미분한 f '(g(x))와 f '(x)는 무엇이 될까요? √x는 x½과 동일하므로 다항식의 미분법칙을 사용하면 1/2 곱하기 x의 1/2에서 1을 뺀 -1/2제곱이 됩니다 그러면 f '(g(x))는 무엇이 될까요? 그러면 f '(g(x))는 무엇이 될까요? f '(x)의 x 자리에 g(x)를 치환한 것이므로 1/2 곱하기 x의 -1/2 제곱 대신 g(x)의 -1/2 제곱이 됩니다 따라서 이쪽에 적어보면 1/2 곱하기 3x²-x의 -1/2제곱이 됩니다 3x²-x의 -1/2제곱이 됩니다 이렇게 문제에 필요한 f '(g(x))를 구했습니다 지금까지 구한 f '(g(x))를 초록색 박스로 나타내면 다음과 같습니다 다음과 같습니다 즉, 바깥쪽 함수를 안쪽 함수에 대해 미분한 f '(g(x))는 1/2 곱하기 3x²-x의 -1/2제곱입니다 이것은 정확히 우리가 정의한 f(x)와 g(x)에 기반하여 얻어낸 결과입니다 개념적으로, 이 부분만 본다면 바깥쪽 함수는 어떤 함수에 1/2제곱을 취한 것이므로 전체를 어떤 함수에 대해 미분하면 1/2곱하기 어떤 함수의 -1/2 제곱이 됩니다 이것이 바로 우리가 말하는 바입니다 이제 우리는 어떤 함수를 x에 대해 미분해야 합니다 어떤 함수를 x에 대해 미분해야 합니다 이것은 더 간단합니다 g '(x)는 다항식의 미분법칙에 의해 6x-1입니다 6x-1입니다 따라서 이 부분이 6x-1이 됩니다 명확하게 나타내기 위해 파란색으로 표현해봅시다 이제 끝입니다 우리가 한 것은 다항식의 미분밖에 없습니다 다시 한번 복습해보면 바깥쪽 함수를 안쪽 함수에 대해 미분한 1/2곱하기 x의 -1/2제곱 대신 1/2 곱하기 g(x)의 -1/2제곱과 안쪽 함수를 x에 대해 미분한 6x-1의 곱이 됩니다 6x-1의 곱이 됩니다