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미분학

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단원 1: 합성 함수의 미분법
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도함수 : 합성 함수의 미분법과 다른 심화 주제
합성 함수의 미분법
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합성 함수의 미분법

구글 클래스룸
여태까지 배웠던 합성함수와 합성 함수의 미분법에 관한 지식을 바탕으로 합성 함수의 미분법을 사용하여 합성함수의 도함수를 구해 봅시다.
합성함수의 미분법에 따르면 다음과 같습니다:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
이는 합성함수를 어떻게 미분을 할지 알려줍니다.

합성함수 복습하기

f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis와 같이 쓸 수 있다면 이는 합성함수입니다. 혹은 함수 안에 함수가 있거나 함수의 함수가 있다면 합성함수입니다.
예를 들어 start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54은 start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54와 start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10일 경우 start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54이기 때문에 합성함수입니다.
함수 start color #e07d10, g, end color #e07d10 는 함수 start color #1fab54, f, end color #1fab54 안에 포함되어 있기 때문에 start color #e07d10, g, end color #e07d10는 "내부 함수"이며 start color #1fab54, f, end color #1fab54는 "외부 함수"입니다.
start color #1fab54, start underbrace, cosine, left parenthesis, space, start color #e07d10, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, start text, 내, 부, end text, end superscript, space, end color #e07d10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, 외, 부, end text, end subscript, end color #1fab54
하지만 cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, x, squared은 합성함수가 아닙니다. 이는 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis와 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared의 곱이지만 어떤 한 함수가 다른 함수의 내부 함수가 아닙니다.
연습문제 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis는 합성함수인가요? 만약 그렇다면 어떤 함수가 "내부 함수"이고 어떤 함수가 "외부 함수"인가요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 합성함수인지 아닌지 판단하지 못하는 것

합성함수인지 판단하는 방법은 보통 합성함수의 미분법을 이용하는 것밖에 없습니다. 함수가 합성함수이며 연쇄법칙을 적용해야 한다는 것을 모르면, 미분을 정확하게 할 수 없을 것입니다.
반면 합성함수가 아닌 함수에 합성함수의 미분법을 적용하면 틀린 도함수가 나오게 됩니다.
특히 초월함수(예를 들어, 삼각함수나 로그함수)의 경우, 학생들은 종종 natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis와 같은 합성함수들을 natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis와 같은 곱 형태의 함수들과 헷갈리곤 합니다.
연습문제 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis은 합성함수인가요? 만약 그렇다면 어떤 함수가 "내부 함수"이고 어떤 함수가 "외부 함수"인가요?
정답을 한 개 고르세요:

연습을 더 해보고 싶나요? 다음 연습 문제를 풀어보세요.

흔한 실수: 내부 및 외부 함수를 잘못 판단하는 것

어떤 함수가 합성함수라는 것을 알아냈다고 해도, 내부 함수와 외부 함수를 헷갈리면 잘못된 도함수가 나오게 됩니다.
예를 들어, 합성함수 cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis에서, 외부 함수는 x, squared이고 내부 함수는 cosine, left parenthesis, x, right parenthesis입니다. 학생들은 종종 cosine, left parenthesis, x, right parenthesis를 외부 함수로 헷갈리곤 합니다.

합성함수의 미분법 적용의 예제

h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript을 미분해 보며 합성함수의 미분법을 어떻게 적용해야 하는지 살펴봅시다. h가 합성함수라는 것에 주목하세요:
h(x)=( 5−6x⏞내부 )5⏟외부g(x)=5−6x내부 함수f(x)=x5외부 함수\begin{aligned} h(x) &= \greenD{\underbrace{(~\goldD{\overbrace{5-6x}^{\text{내부}}~})^5}_{\text{외부}}} \\\\ \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{내부 함수} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{외부 함수} \end{aligned}
h가 합성함수이므로, 이를 합성함수의 미분법을 이용해 미분할 수 있습니다:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
말로 설명하자면, 이 법칙은 합성함수의 도함수는 내부 함수 start color #e07d10, g, end color #e07d10가 외부 함수의 도함수 start color #11accd, f, prime, end color #11accd 안에 있는 형태에다, 내부 함수의 도함수 start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c가 곱해진 것이라는 사실을 말하고 있습니다.
법칙을 적용하기 전, 먼저 내부와 외부 함수의 도함수를 구합시다:
g′(x)=−6f′(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
이제 합성함수의 미분법을 적용합시다:
ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)=5(5−6x)4⋅−6=−30(5−6x)4\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right] \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

합성함수의 미분법 적용 연습하기

3.A
  • 최근
3번 문제 세트는 sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis를 미분하는 과정을 차근차근 보여줄 것입니다.
sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis의 내부와 외부 함수는 무엇인가요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 4
  • 최근
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, close bracket, equals, question mark
정답을 한 개 고르세요:

연습을 더 해 보고 싶나요? 다음 연습문제를 풀어보세요.
연습문제 5
  • 최근
xf, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 19minus, 1minus, 5minus, 6
23minus, 116
G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어 보세요.
연습문제 6
케이티는 left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, cubed을 미분했습니다. 케이티의 풀이과정은 다음과 같습니다:
1단계: start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10로 두면, start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54입니다.
2단계: start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, end color #11accd
3단계: 도함수는 start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd입니다:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, 3, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, squared, end color #11accd
케이티의 풀이는 올바른가요? 만약 아니라면, 어디에서 실수를 했을까요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 내부 함수의 도함수에 곱하는 것을 잊어버리는 것

학생들이 흔히 하는 실수는 외부 함수만 미분하여 f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis가 나오는 것인데, 올바른 도함수는 f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis입니다.

또 다른 흔한 실수: f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis의 계산

또 다른 흔한 실수는 f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis를 도함수들의 합성 형태인 f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis로써 미분하는 것입니다.
이것 역시 틀렸습니다. f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis 안에 있어야 함수는 g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis가 아니라 g, left parenthesis, x, right parenthesis입니다.
기억하세요: start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54의 도함수는 start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c이며, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd 혹은 start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd가 아닙니다.

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