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곱의 미분법과 합성 함수의 미분법으로 함수의 몫의 미분법 증명하기

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곱의 미분법에 따르면 두 개의 함수 f(x)와 g(x)가 있을 때 도함수를 구하게 되면 첫 번째 함수의 도함수 f'(x)와 두 번째 함수 g(x)를 곱한 것에 첫 번째 함수 f(x) 와 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것을 더하면 됩니다 그러니까 두 함수 중에 하나만 도함수를 취하고 다른 것은 그 원래 형태로 두고 서로 바꿔서 진행한 후 더하면 됩니다 여기서는 f 함수의 도함수가 있습니다 여기서는 g 함수의 도함수가 있습니다 지금까지는 복습이었습니다 곱의 미분법을 복습한 것입니다 오늘 본격적으로 할 것은 곱의 미분법을 몫의 미분법에 적용시키는 것입니다 저는 몫의 미분법에 대해 여러가지 생각을 가지고 있습니다 과정을 조금 더 빠르게 해주기도 하지만 사실은 곱의 미분법에서 나온 것입니다 그리고 솔직히 말해서 몫의 미분법은 항상 잊어버려서 곱의 미분법에서 유도해내곤 합니다 f(x) 를 g(x)로 나눈 꼴의 식이 있다고 합시다 이것을 미분하고자 합니다 f(x) / g(x)의 도함수를 구하는 것입니다 우리가 알아야 할 것은 f(x) / g(x)라고 생각하는 대신 f(x) × (g(x)^-1) 로 생각할 수 있다는 것입니다 이제 우리는 곱의 미분법과 합성함수의 미분을 약간만 하면 됩니다 결과가 어떻게 될까요? 일단 곱의 미분을 먼저 합시다 첫 번째 함수의 도함수니까 f'(x) 가 될 것이고 g(x)의 -1승을 곱하면 됩니다 g(x)의 -1승을 곱하면 됩니다 그 다음엔 f(x)에 두 번째 함수의 도함수를 곱하면 됩니다 여기서 합성함수의 미분을 이용해야 합니다 우선 바깥 함수 어떤 것의 -1 승 하는 함수의 도함수를 구하면 되는데 여기서는 -1 곱하기 g(x)의 -2 승이 됩니다 그리고 안의 함수의 도함수를 곱해야 하는데 여기서는 g'(x)가 됩니다 이것의 도함수는 곱의 미분법과 합성 함수의 미분을 이용해야 구할 수 있습니다 그런데 이것은 흔히 책에 나오는 몫의 미분 형태가 아닙니다 조금 더 단순화 해보겠습니다 이것을 다시 써보면 f'(x) / g(x) 가 되고 이것을 다시 써보면 마이너스를 앞으로 빼서 -f(x) × g(x) 를 g(x)² 으로 나눈 꼴이 됩니다 조금 더 깔끔하게 적겠습니다 전체를 g(x)² 로 나눠야 합니다 그래도 여전히 책에서 보는 식과는 거리가 있어 보입니다 그러기 위해서는 이 두 분수를 합쳐야 합니다 우선 분자와 분모에 곱해봅시다 여기서는 g(x)를 곱해야 모든 것이 g(x)²으로 나누어져 있는 꼴이 됩니다 분자에도 곱하면 여기에 g(x)가 생길 것이고 분모는 g(x)² 이 될 것입니다 이제 더하면 됩니다 f(x) 나누기 g(x) 꼴의 도함수는 f'(x)g(x) -f(x)g'(x) 가 분자가 되고 g(x)² 가 분모가 되는 형태입니다 항상 이렇게 곱의 미분과 합성함수의 미분을 통해 유도할 수 있습니다 이런 꼴의 문제를 풀기에는 이렇게 하는 것이 조금 더 빠를 수도 있습니다 곱의 미분과 몫의 미분과의 차이를 보고 싶다면 그냥 하나의 도함수와 다른 함수를 곱하고 처음 함수와 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것을 더하지 말고 빼면 됩니다 그리고 전체를 두 번째 함수의 제곱으로 나누면 됩니다 이 도함수의 분자를 보면 여기 마이너스가 있고 전체를 두 번째 함수의 제곱으로 나눈 꼴이 됩니다