증명: 미분 가능하면 연속입니다

이 영상에서 하려는 것은 어떤 함수가 한 점 C에서 미분가능하면 어떤 함수가 한 점 C에서 미분가능하면 그 점 C에서 연속임을 증명하는 것입니다 하지만 그 전에 미분가능성과 연속성이 무엇을 의미하는지 봅시다 먼저 미분가능성에 대해 생각해봅시다 함수를 그려보는 것이 도움이 될 겁니다 이것이 y축이고 이것이 x축입니다 여기에 적당한 함수를 그려봅시다 이렇게 생긴 함수에서 x = c인 지점을 살펴봅시다 x = c인 지점을 살펴봅시다 x = c인 지점을 살펴봅시다 그리고 c에 해당하는 함수값은 f(c)가 되겠죠 f(c)가 되겠죠 x = c에서의 미분계수 또는 x=c에서의 접선의 기울기를 구하는 하나의 방법을 알아봅시다 임의의 x를 잡습니다 임의의 x를 잡습니다 그러면 이 점의 y좌표는 f(x)입니다 f(x)입니다 물론 이 그래프는 y = f(x)의 그래프입니다 이때 이 선분의 기울기 즉 두 점 사이의 할선의 기울기를 구해서 x가 c에 가까워질 때의 극한을 구할 수 있습니다 x가 c로 다가가면 할선의 기울기는 접선의 기울기 또는 미분계수에 가까워 질 것입니다 그러니 x가 한없이 c에 가까워질 때 그러니 x가 한없이 c에 가까워질 때 그러니 x가 한없이 c에 가까워질 때 할선 기울기의 극한을 구합시다 그래서, 기울기가 뭘까요? (y의 변화량)/ (x의 변화량)입니다 여기서 y의 변화량은 f(x) - f(c)입니다 여기서 y의 변화량은 f(x) - f(c)입니다 이건 미분계수의 정의 중 한 가지일 뿐입니다 말하자면 y 변화량인 f(x) - f(c)를 x 변화량인 x-c로 나눈 식에 대해 x-c로 나눈 식에 대해 극한값이 존재한다면 이 점에서 접선의 기울기를 구할 수 있으며 이 값을 x = c에서의 미분계수라고 부릅니다 이것은 f'(c)라고 적습니다 이것은 f'(c)라고 적습니다 따라서 어떤 함수 f가 따라서 어떤 함수 f가 x = c에서 미분가능하다는 것은 이 식의 극한값이 존재한다는 것을 의미합니다 그리고 이 극한값이 존재한다면 이 식의 값을 f'(c)라고 부릅니다 여기까지 미분가능성에 대한 복습이었습니다 이제 연속성에 대해 복습합시다 연속성의 정의는 x가 한없이 c에 가까워질 때 f(x)의 극한이 f(c)와 같다는 것입니다 이 식이 여러분에게 직관적으로 보일 수도 있겠지만 잘 이해가 되지 않을수도 있습니다 이 식을 시각화해서 직관적으로 받아들이기 쉽게 해봅시다 일단 연속적이지 않은 함수를 먼저 살펴봅시다 그러는 편이 개념을 더 명확하게 만들어 줄 겁니다 만약 x = c에서 불연속적이면 만약 x = c에서 불연속적이면 만약 x = c에서 불연속적이면 만약 x = c에서 불연속적이면 x=c에서 틈이 생기고 실제 f(c)값은 위의 값이 됩니다 실제 f(c)값은 위의 값이 됩니다 x가 c로 갈 때 f(x)의 극한은 이 값을 가지며 분명히 f(c)와 다릅니다 x가 c로 갈 때 f(x)의 극한을 취하면 이 값으로 다가가게 됩니다 이 값으로 다가가게 됩니다 이 극한값은 f(c)와 다릅니다 이 경우에서 연속성의 정의는 꽤 잘 들어맞는 것 같습니다 이 함수는 연속적이지 않으며 불연속점을 가집니다 그러니 적어도 이 함수에서는 연속성의 정의가 이 함수를 불연속적인 함수로 잘 분류합니다 점프 불연속도 생각해 봅시다 점프 불연속도 생각해 봅시다 x = c에서의 점프 불연속은 이렇게 생겼을 것입니다 이렇게 생겼을 것입니다 이 위치가 x = c이고 이 위치가 x = c이고 여기는 f(c)입니다 만약 여러분이 x가 c로 갈 때 f(x)의 극한을 구하려고 한다면 양 극한값이 서로 다를 것입니다 왼쪽에서 c에 다가가면 아래값에 도달하고 오른쪽에서 c에 다가가면 f(c)에 도달하므로 극한이 존재하지 않습니다 따라서 이 경우에는 극한값이 존재하지 않습니다 따라서 연속성의 정의는 이 함수는 극한값이 없으며 불연속임을 잘 알려줍니다 이제 진짜로 연속인 함수를 봅시다 이제 진짜로 연속인 함수를 봅시다 이제 진짜로 연속인 함수를 봅시다 여기가 x = c이고, 여기가 f(c)입니다 여기가 f(c)입니다 x가 한없이 c로 가까워질 때, f(x)의 극한을 구하면 f(c)에 가까워질 것입니다 따라서 x가 c로 갈 때 f(x)의 극한이 f(c)와 같습니다 이것이 연속함수에서 기대되는 성질입니다 이것으로 우리는 미분가능성과 연속성에 대한 복습을 마쳤습니다 이제 한 점에서 미분 가능하면 그 점에서는 연속임을 증명합시다 우리가 한 복습은 문제를 시각화하는데 도움을 줄 겁니다 미분가능성은 극한값이 존재함을 의미합니다 조금 다르게 생긴 극한에서부터 시작합시다 x가 c로 갈 때, f(x) - f(c)의 극한을 취합시다 f(x) - f(c)의 극한을 취합시다 f(x) - f(c)의 극한을 취합시다 다시 써 볼까요? 앞의 식을 다시 쓰면 x가 c에 가까이 가면 우리는 앞의 식에 x - c를 곱한 뒤 다시 나눌 수 있습니다 x - c를 곱해주고 다시 x - c로 나눕시다 (f(x) - f(c)) / (x - c) (f(x) - f(c)) / (x - c) 제가 한 일은 단지 x - c를 곱하고 나눈 것 뿐입니다 이 극한은 무엇이 될까요? 여기에서 극한의 성질을 사용하겠습니다 극한들의 곱은 전체곱의 극한과 같습니다 따라서 이 값은 x가 c로 갈 때 x-c의 극한값에 (f(x) - f(c)) / (x - c)의 극한값을 곱한 것과 같습니다 이 식은 무엇일까요? f가 c에서 미분가능이라면 사실 여기서부터 시작했어야 하죠 사실 여기서부터 시작했어야 하죠 우리는 미분가능성이 연속성을 포함함을 증명하려고 하니 함수가 c에서 미분가능이라고 가정하면 함수가 c에서 미분가능이라고 가정하면 이 식은 그냥 f'(c)입니다 바로 위에서 본 식과 완전히 같은 것이죠 이 값은 f'(c)입니다 그러면 이 식은 무엇일까요? x가 c로 갈 때 x - c의 극한은? 그냥 0이 됩니다 x가 c로 가면 이 식은 c - c이므로 0 됩니다 0 곱하기 f'(c)는 무엇일까요? f'(c)는 상수이고 0에는 어떤 수를 곱해도 0이 됩니다 최종적으로 0을 얻었습니다 왜 이 결과가 흥미로울까요? 우리는 단지 함수가 c에서 미분가능이라고 가정하였고 이 극한을 계산해서 0을 얻었습니다 따라서 함수가 c에서 미분가능이라면 따라서 함수가 c에서 미분가능이라면 x가 c로 갈 때 f(x) - f(c)는 x가 c로 갈 때 f(x) - f(c)는 x가 c로 갈 때 f(x) - f(c)는 x가 c로 갈 때 f(x) - f(c)는 0이 됩니다 0이 됩니다 극한의 성질을 사용해서 아래에 똑같이 적겠습니다 아래에 똑같이 적겠습니다 아래에 똑같이 적겠습니다 x가 c로 가까이 갈 때 f(x)-f(c)는 0입니다 f(x)-f(c)는 0입니다 각 극한값의 차는 전체 식의 극한값과 같습니다 이 식은 무슨 값이 될까요? f(c)는 상수입니다 더이상 x에 대한 함수가 아닙니다 더이상 x에 대한 함수가 아닙니다 이것은 그냥 f(c)입니다 이것은 그냥 f(c)입니다 따라서 x가 c로 갈 때 f(x)-f(c)는 0입니다 양 변에 f(c)를 더하면 x가 c에 가까이 갈 때 f(x)는 f(c)와 같습니다 이것은 연속성의 정의입니다 x가 c로 갈 때 함수의 극한은 c에서의 함수값과 같습니다 c에서의 함수값과 같습니다 이것은 이 함수가 c에서 연속임을 의미합니다 이것은 이 함수가 c에서 연속임을 의미합니다 되짚어봅시다 우리는 f가 c에서 미분가능이라고 가정하였고 그 사실을 이 극한이 0이 됨을 증명하는데 이용하였습니다 그리고 이 극한이 0이 되면 간단한 대수적 과정과 극한의 성질에 의해 x가 c로 갈 때 f(x)가 f(c)와 같아지므로 연속임을 보였습니다 점 c에서 연속임을 보였습니다 점 c에서 연속임을 보였습니다 한 점에서 미분계수가 존재함을 알면 즉 c에서 미분가능함을 알면 그것은 또한 c에서 연속임을 의미합니다 함수는 그 점에서 연속이 됩니다