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함수 u가 x에서 연속이면 Δx→0일 때 Δu→0입니다

동영상 대본

이번에 여러분께 직관을 드리기 위해 설명해 드릴 결과는 연쇄 법칙을 이용한 증명에서 사용하거나 연쇄 법칙을 증명하는 데에 사용합니다 이번에는 연쇄 법칙의 증명보다 더 할지도 모릅니다 우리가 보게 될 결과는 다음과 같습니다 만약 x에 대한 함수인 μ(x)가 x=c에서 연속이라고 그렇게 말한다면 그것은 μ(x)의 변화량이 0에 가까워짐을 의미합니다 c 와 x의 차이가 0으로 다가갈 때 말입니다 이것이 제가 여러분께 드리고 싶은 직관입니다 만약 μ(x)가 c에서 연속이라면 x와 c의 차이가 점점 더 작아져서 0에 향해갈 때 Δμ도 0을 향한다는 점입니다 이에 대해 생각해 보고 조금 더 엄밀하게 이 문장을 증명하기 위해 x=c에서 연속이라는 말의 의미를 생각해 봅시다 μ(x)가 c에서 연속이라고 한다면 이는 다음과 동치입니다 x가 c로 향할 때 μ(x)의 극한이 μ(c)라는 것 입니다 즉 x가 c로 향할 때의 함수의 극한이 c에서의 함숫값과 같다는 의미입니다 불연속점이나 비약 불연속도 없어야 합니다 만약 비약 불연속이 있다면 저번 비디오에서 보았듯이 극한값이 존재하지 않게 될 테니까요 이제 이것을 대수적으로 교묘하게 바꿔서 여기 있는 결과를 의미하도록 하겠습니다 이 문장은 이렇게 바꿔 쓸 수 있습니다 여기서 알아야 할 중요한 점은 μ(c)가 어떤 값을 가진 상수라는 것 입니다 마치 x에 대한 함수나 그 비슷한 것으로 보이지만 아닙니다 이건 단지 어떤 숫자에 불과합니다 제가 c를 μ(x)에 대입했으므로 μ(c)는 어떤 숫자가 될 겁니다 5나 7이 될 수도 있고 π가 될 수도 있습니다 음수일지도 모르죠 하지만 이것은 어떤 상수라는 겁니다 그래서 저는 μ(c)를 상수처럼 다룰 수 있습니다 이 문장의 의미는 다음을 의미합니다 x가 c로 향할 때의 μ(x)와 μ(c)의 차의 극한이 0 이라는 것 입니다 그래서 사실 미분 가능하면 연속이라는 것을 증명한 비디오에서 우리는 여기서 시작해서 이것을 증명했습니다 이 두 가지가 같다는 것을 말입니다 하지만 이 사실은 직관으로도 쉽게 알 수 있을 겁니다 이 의미는 그저 μ(x)가 x가 c로 향할 때의 극한이 μ(c)이므로 x가 c로 향할 때의 이 극한도 μ(c)로 향해 간다는 것 입니다 보다시피 μ(c)-μ(c) 는 자명하게 0으로 갈테니까요 여러분이 이것에 대해서 너무 스트레스를 받지 않았으면 좋겠습니다 그저 양변에서 μ(c)를 빼더라도 이 결과를 얻을 수 있습니다 하지만 그 사실은 잠재적으로 우리를 여기로 이끌어 줍니다 결국 우리가 x를 변화시켜서 x가 점점 0을 향해서 작아진다면 우리의 함수의 변화량 또한 0을 향한다는 것 입니다 그렇다면 감을 얻기 위해 그림을 그려서 이 내용을 시각화 해봅시다 이 직선이 x 축입니다 이 직선이 x 축입니다 이 축은 μ 축이라고 합시다 연쇄 법칙 비디오에서 증명에 μ를 사용할 것이므로 일부러 μ를 사용했습니다 여기 이것이 우리의 함수라고 합시다 그리고 이것이 c 입니다 함숫값은 μ(c) 입니다 그러면 여기 임의의 x를 잡겠습니다 그리고 이곳의 함숫값이 μ(x)이므로 변화를 정의해 봅시다 여기서 Δμ를 μ(x)-μ(c)로 정의합시다 이것이 x가 c로 향할 때의 μ의 변화량이니까요 그래서 이것을 μ(x)-μ(c)라고 하겠습니다 그리고 Δx를 x-c로 정의하겠습니다 이 경우에는 이 부분이 x-c 입니다 그러면 우리는 이 극한을 다르게 쓸 수 있습니다 여기에요 x가 c로 향할 때의 극한이라고 하는 대신에 Δx가 0으로 향할 때의 극한이라고 할 수 있습니다 왜냐하면 x가 c로 향할 때 Δx는 0을 향해 가니까요 그래서 우리가 이 극한을 Δx가 0을 향할 때의 Δu의 극한이 0이 됩니다 우리는 μ(c)-μ(x)를 Δμ로 정의했고 이 부분이 Δμ 입니다 이 값은 0입니다 따라서 여기에 대해 생각할 수 있는 다른 방법은 Δx가 0을 향해 감에 따라 우리의 함수 μ의 변화도 0을 향한다는 것 입니다 Δx가 0을 향해 감에 따라 Δμ도 0을 향해 갑니다 여기 있는 문장이 바로 그런 의미입니다 Δμ는 0을 향해 갈 겁니다 Δx가 0을 향해 갈 때 말입니다 다양한 방법으로 봤을 때 다행히 이 문장은 당연합니다 우리가 연속함수를 다루고 있기 때문에 여러분이 x를 점점 더 작게 만들수록 이렇게 생각하자면 Δx를 점점 더 작게 만들수록 즉 Δx가 작아질수록 그리고 아무리 작아지더라도 이 함수는 연속이므로 만약 불연속 함수였다면 그렇게 말할 수 없겠지만 연속이기 때문에 정확하게는 일부 불연속 함수에서는 그렇게 말할 수 없겠지만 Δx가 계속해서 작아진다면 Δμ도 계속해서 작아지리라는 겁니다 그래서 직관적으로 이해할 수 있습니다 이제 이 내용을 이용해서 다음 비디오에서는 연쇄법칙을 증명해보도록 하겠습니다