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주요 내용
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미적분을 사용해서 곡선 그리기: 다항식

동영상 대본

우리가 함수를 그래프화 할 때 미분 볼록성 최댓값 최솟값 그리고 변곡점에 대한 우리의 모든 지식을 그래프를 그래프 계산기 없이 그려내기 위해서 사용할 수 있는지 알아봅시다 그러면 우리의 함수 f(x)가 3x의 4제곱 더하기 4x의 3제곱 더하기 2라고 하겠습니다 물론 여러분은 몇 개의 점을 구하는 것을 시도함으로써 그래프를 그릴 수 있습니다 하지만 저희는 흥미 있는 점들에 집중하겠습니다 그리고 함수의 일반적인 모양을 알아내기 위해서 미적분 툴키트와 도함수 툴키트를 이용해 구할 수 있는 내용들에 집중하겠습니다 첫번째 할 일은 임계점들을 알아보는 것입니다 저희가 알아내기 원하는 것은 임계점입니다 (제가 적어보겠습니다 critical points) 임계점이 무엇을 의미하는 지에 대한 보충 설명으로 그것은 함수 f(x)의 도함수가 0인 지점입니다 따라서 임계점들은 f '(x)가 0이거나 정의되지 않는 점들입니다 이 함수는 모든 구간에서 미분 가능해 보이므로 저희가 걱정한 임계점들은 아마 그것들이 f '(x)가 0이 되는 바로 그 점들이라는 것입니다 이 도함수 f '(x)는 정확히 모든 구간에서 정의될 것입니다 그러므로, 여기에 도함수를 바로 적어보도록 하겠습니다 f '(x)는 꽤 간단합니다 3x의 4제곱의 도함수는 3곱하기 4가 12이므로 12x에 (4를 1만큼 감소시켜 )3제곱입니다 맞지요? 지수의 크기만큼 항에 곱한 후 새로운 지수를 1만큼 감소시키면 됩니다 4곱하기 3은 12이고, 3보다 1작은 2이므로 12x의 제곱을 뺴면 되겠습니다 상수항의 도함수는 즉, 상수함수의 기울기는 생각해볼 수 있듯이 0입니다 상수함수는 불변입니다 상수함수는 정의에 따라서 값이 변하지 않습니다 따라서 이것이 f '(x)입니다 변곡점들을 찾아봅시다 변곡점은 이 도함수가 0이거나 정의되지 않는 곳입니다 실수 전체의 범위에서 보았을 때 이 함수는 모든 곳에서 정의 되어 있는 것 같습니다 이 함수에 어떤 수를 대입시켜도 함숫값이 얼마인지에 대한 답을 줄 것입니다 이 함수가 모든 구간에서 정의되므로 이 함수가 언제 0이 되는지를 알아봅시다 f '(x)=0입니다 이 식의 해를 구해보도록 합시다 (다시 적을 필요 없이 방금 적었던 내용이군요) f '(x)가 0이 되는 해를 구해보겠습니다 (같은 색으로 해 보겠습니다) 12x의 3제곱 뺴기 12x의 제곱이 0입니다 이것을 풀기 위해 할 수 있는 것을 봅시다 12x로 두 항을 묶을 수 있겠습니다 12x를 나누면 이 항은 x가 되고 12x제곱을 나누는 것이 더 나을 것 같습니다 12x제곱으로 묶겠습니다 이 두항을 12x제곱으로 나누면 이 항은 x가 되고 12x제곱을 12x제곱으로 나눈 값은 1이므로 빼기 1이 됩니다 x-1은 0이 됩니다 저는 방금 위의 식을 아래와 같이 적어습니다 다른 방법으로 구할 수도 있습니다 만약 12x제곱 만큼 이 항을 곱하면 도함수를 바로 구할 수 있을 것입니다 이 일을 한 이유는 0에 대해서 풀기 위해 또는 방정식이 0이 되는 모든 x의 값을 알기 위해서 방정식을 어떤 항에 어떤 다른 항을 곱하는 꼴로 적은 것입니다 이 식의 값이 0이 되기 위해서는 이 항들 중 하나 또는 둘 모두가 0과 값이 같아야 합니다 12x의 제곱이 0과 같습니다 즉 x가 0이되면 이 값이 0이 되겠습니다 이 식이 0이 되도록 하는 다른 경우는 x-1이 0과 같아지는 것입니다 x-1은 x가 1과 같을 때 0이 됩니다 이 두 값이 임계점입니다 두 개의 임계점은 x가 0, 1 일 때 입니다 기억해야 할 것은, 그 점들이 첫 도함수가 0이 되게 한 점들입니다 기울기가 0일 때 말입니다 그들은 최댓값이 될 수도 있고 최솟값이 될 수도 있고 혹은 변곡점이 될 수도 있습니다 저희는 아직 모릅니다 만약 이것이 상수함수였다면 그것들은 어떤 값이든 될 수 있습니다 따라서 그들이 흥미 있는 점이라는 것 이외에는 아무것도 말할 수 없습니다 그것이 저희가 말할 수 있는 전부입니다 그들은 우리가 관심있는 점입니다 계속해서 그래프의 오목과 볼록에 대해 알아보아 그래프를 더 잘 이해하도록 합시다 이제 두 번쨰 도함수에 대해 알아봅시다 (이 오렌지 색으로 해보겠습니다) 제 함수의 두번째 도함수는 3곱하기 12는 36이고 뺴기 24x입니다 저희가 할 수 있는 일이 몇 가지 있습니다 저희가 두 번째 도함수를 알기 때문에 제 그래프가 이 점들에서 오목한지 볼록한지 알 수 있습니다 따라서 이 두 임계점에서 어떤지 알아봅시다 그러면 모두 맞아 떨어질 것입니다 기억해야 할 것은 이것이 아래로 볼록하다면 그것은 U자형을 띌 것 입니다 만약 위로 볼록이라면 그것은 뒤집힌 U자형이 될 것입니다 따라서 f''(x) 우리의 두 번째 도함수는 x는 0일 때 값이 무엇일까요? 이는 36곱하기 0의 제곱 빼기 24곱하기 0과 같습니다 이는 0입니다 따라서 f''(x)가 0과 같습니다 저희의 함수는 이 점에서 위로 볼록하지도 아래로 볼록하지도 않습니다 이 점은 전이점일 수도 있고 아닐수도 있습니다 이것이 전이점이라면 저희는 변곡점과 마주하고 있는 것입니다 아직 확실하지는 않습니다 이제 저희의 f''(x) 두 번째 도함수가 1에서 무슨 값을 가지는지 보겠습니다 이는 36곱하기 1 적어보도록 하겠습니다 이 값은 36곱하기 1의 제곱 즉 36이고 빼기 24곱하기 1입니다 따라서 이는 36 빼기 24이고 이는 12입니다 저희의 두 번째 도함수는 이 점에서 양의 값을 가집니다 값은 12이고 이는 우리의 첫번째 도함수 즉 기울기가 증가한다는 것을 알 수 있습니다 기울기의 변화량 정도가 여기서 양수입니다 따라서 이 점에서 그래프가 아래로 볼록합니다 이는 이 점이 최솟값임을 말해줍니다 맞나요? 기울기가 이 점에서 0이고 이 점에서 그래프는 아래로 볼록합니다 이것은 매우 흥미있습니다 여기서 다른 잠재적인 변곡점을 여기서 찾아보겠습니다 우리는 이미 이 점이 잠재적인 변곡점이라는 것을 알고 있습니다 (이것을 빨간 색으로 동그라미를 치겠습니다) 이것은 잠재적인 변곡점입니다 우리는 아직 우리의 함수가 이 점에서 변화하는지 모릅니다 우리는 실제로 그런지 실험을 해보아야 합니다 먼저 여기서 다른 변곡점 또는 잠재적 변곡점을 찾아보겠습니다 이 식이 다른 값에서도 0이 되는지 알아보겠습니다 36곱하기 x의 제곱 빼기 24 곱하기 x는 0입니다 위 식을 풀어봅시다 우리는 12x로 식을 묶을 수 있겠습니다 12x 곱하기 3x 맞습니다. 3x 곱하기 12x는 36 x의 제곱 빼기 2는 0과 같습니다 이 두 식은 같은 식의 표현 입니다 이 두 항을 곱하면 위의 값이 나올 것 입니다 이 식이 0과 같을 것이고 12x 가 0이거나 12x가 0이라면 저희에게 x=0이라는 값을 줄 것입니다 따라서 x=0에서 이 값은 0일 것입니다 두 번째 도함수는 0이고 저희는 이미 그 숫자를 검증했기 때문에 알고 있습니다 만약 이 값이 0이라면 두 번째 도함수 전체가 또 0이 될 것입니다 이를 적어보겠습니다 3x-2는 0과 같고 3x는 0과 값이 같고, 이는 양변에 2를 더하면 나옵니다 x는 2/3입니다 따라서 이 점이 위에서 찾지 못한 변곡점이 될 수 있는 흥미있는 점입니다 그럴 가능성이 있는 이유는 이 점에서 두번째 도함수가 0이기 때문입니다 이 식에 2/3을 대입하면 0이 됩니다 저희가 해야 할 일은 두 번째 도함수가 2/3 양 쪽에서 양의 값인지 음의 값인지 알아보는 것입니다 저희는 그 정도의 감각을 가지고 있습니다 다시 말해 몇 개의 숫자를 대입하면 된다는 것입니다 알고 있듯이 만약 x가 2/3보다 크다고 하면 (공간을 위해 스크롤을 좀 내리겠습니다) x가 2/3보다 크면 어떻게 되는지 보겠습니다 f""(x)가 무엇일까요? 두번째 도함수가 무엇일까요? 매우 가까운 수를 대입하여 이해해보도록 합시다 다시 적어보겠습니다 f''(x)는 (이렇게 적어보도록 하겠습니다) (제 말은 이렇게 적을 수도 있지만) (이 방법이 더 쉬울 것 같습니다) 이것은 12x 곱하기 3x-2와 같습니다 따라서 x가 2/3보다 크면 이 항의 값이 양수가 될 것입니다 이것은 분명합니다 어떠한 양수도 12와 곱하면 양수가 될 것입니다 하지만 여기 있는 이 항은 어떨까요? 3 곱하기 2/3 빼기 2는 정확히 0이지요? 그것은 2빼기 2입니다 하지만 그것보다 큰 어떠한 것도 3배하면 2+1/3을 예로 들면 양의 값을 가질 것입니다 2/3보다 큰 어떠한 x도 이 항의 값을 양수로 만들 것입니다 맞나요? 이 항도 양수가 될 것입니다 그 말은 x가 2/3보다 크면 두 번째 도함수가 양수라는 것을 말해줍니다 0보다 크다는 것입니다 따라서 저희의 구간에서 x가 2/3보다 큰 범위에서 저희의 함수는 아래로 볼록할 것입니다 저희는 그것을 x=1에서 성립함을 확인했습니다 그래프는 아래로 볼록이었습니다 x가 2/3보다 작은 경우는 어떨까요? x가 2/3보다 작을 때(적어보도록 하겠습니다) (스크롤을 조금 내리겠습니다) x가 2/3보다 작을 때 어떻게 될까요? (다시 적어보도록 하겠습니다) f''(x) 두번째 도함수는 12x 곱하기 3x-2입니다 저희가 축의 왼쪽으로 저희는 음의 값을 가지게 될 것입니다 하지만 만약 x가 2/3보다 조금 작게 된다면 즉 아직 x가 양의 범위에 있을 때를 보겠습니다 따라서 만약 1.9/3 같은 수를 넣는다면 소수와 분수가 섞인 형태 또는 심지어 1/3을 넣어도 이 항은 여전히 양의 값을 가질 것입니다 2/3 바로 밑의 값을 대입시키면 이 항은 여전히 양수가 될 것입니다 저희는 12를 양수에 곱할 것입니다 하지만 여기에서는 무슨 일이 일어날까요? x가 2/3일 때 값이 정확히 0입니다 하지만 여러분이 2/3보다 작은 어떠한 수를 사용해도 3곱하기 1/3은 단지 1입니다 1빼기 2는 음수이고 이 항은 음의 값을 가질 것입니다 따라서 x가 2/3 보다 작을 때 여기 있는 이 항은 음수가 될 것입니다 저희의 두 번째 도함수는 x가 2/3보다 작을 때 두번째 도함수 바로 왼쪽인, 2/3보다 조금 작을 때 두 번째 도함수는 음의 값을 가질 것입니다 이 함수가 이런 변화를 가지게 된다는 사실로 2/3보다 작을 때는 음의 값을 가지는 두 번째 도함수 2/3보다 클 때는 양의 두 번째 도함수를 가지는 변화가 이 점이 실제로 변곡점임을 말해줍니다 x가 2/3인 지점은 분명히 저희의 원래 함수의 변곡점입니다 이제 저희에게는 하나의 변곡점 후보가 더 남았습니다 그 후에는 그래프를 그릴 준비가 되었습니다 그 후 여러분이 모든 변곡점과 최댓값 최솟값을 알게 되면 그래프를 그릴 준비가 된 것입니다 x가 0인 지점이 변곡점인지 확인해봅시다 저희는 두번째 도함수가 x=0일 때 0이라는 것을 알고 있습니다 이 지점 양옆에서는 두번째 도함수가 어떻게 될까요? 여기서 가벼운 검증을 해보겠습니다 따라서 x가(여기 줄을 조금 그려서) (제가 적었던 내용들과 헷갈리지 않도록 하겠습니다) x가 0보다 클 때 두번째 도함수에서 무슨 일이 일어날까요? 기억할 것은 두번째 도함수가 12x 곱하기 3x-2와 같았다는 사실입니다 저는 이런 식으로 적는 것을 좋아합니다 왜냐하면 식을 두 개의 일차항으로 나누었고 이 항들이 각각 음인지 양인지 판단할 수 있기 때문입니다. 따라서 x가 0보다 클 때 여기 있는 항은 양의 값을 가지게 될 것이고 그 다음 이 항은 x가 0보다 조금 클 때 그러므로 저희는 0에 굉장히 가까운 수를 골라야 합니다 이 수를 0.1이라고 해보겠습니다 저희는 0보다 조금 큰 값을 다루고 있습니다 이것이 모든 0보다 큰 x에 대해서는 성립하지 않을 것입니다 저희는 단지 0 바로 위에서 무슨 상황이 일어나는지를 검증하고 싶은 것입니다 따라서 이것은 0.1입니다 여러분은 0.3을 얻게 될 것이고, 0.3빼기 2는 음수가 될 것입니다 맞나요? 따라서 x가 0보다 아주 조금 클 때 이 식은 음수입니다 따라서 x가 0보다 클 때 여러분의 두 번째 도함수는 0보다 작을 것입니다 이 함수는 위로 볼록할 것입니다 말이 되는 것은 몇몇의 점에서 변화가 있을 것입니다 아까 저희는 위로 볼록이었습니다 x가 2/3에 도달하기 전에 말입니다 이 사실은 변함이 없습니다 0부터 2/3까지 함수는 위로 볼록하였고 2/3에서 아래로 볼록하게 되었습니다 자 이제 x가 바로 작을 때 즉 x가 0보다 겨우 작을 때를 보겠습니다 다시 한번 두번 째 도함수는 12x 곱하기 3x-2입니다 네 맞습니다 만약 x가 -0.1 또는- 0.0001 무엇이 되든 이 항은 음수일 것입니다 이 항은 음수가 될 것이고, 여러분이 음수를 가지고 있을 때 12를 곱해도 음수가 될 것입니다 그러면 이 항은 어떻게 될까요? 3 곱하기 -0.1은 -0.3이 될 것이고 빼기 2를 하면 -2.3일 것입니다 분명히 음수가 나올 것입니다 이 항은 음수가 될 것입니다 여러분이 음수에서 빼기를 진행하면 그 값은 분명히 음수가 될 것입니다 따라서 이 항도 음수가 되겠습니다 하지만 여러분이 음수와 음수를 곱하게 된다면 양의 값을 갖게 될 것입니다 사실상 x가 0바로 밑인 상태에서, 두 번째 도함수는 양수일 것입니다 이 모든 것이 조금 혼란스러웠을 지도 모르겠습니다 하지만 이제 결과를 받게 되겠습니다 저희는 이제 결과를 가지고 있습니다 이제 모든 흥미 있는 것들을 가지고 있습니다 x가 1일때 (여기 적어보도록 하겠습니다) 저희는 x가 1일 때 기울기가 0이라는 사실을 알아냈습니다 따라서 f''(0)는 (죄송합니다. 다르게 적겠습니다) 저희는 기울기가 0임을 알고 있습니다 기울기=0 저희는 그 사실을 첫번째 도함수가 0임으로 부터 알아 냈습니다 이것은 임계점이었습니다 그리고 저희는 함수가 이 점에서 아래로 볼록이라는 사실도 알고 있습니다 그 사실은 이 점이 최솟값이라는 것을 말해줍니다 저희는 좌표가 필요합니다 실제로 그릴 수 있게 말입니다 그것이 이 동영상의 주제였습니다 f(1)은 무엇일까요? 다시 원래의 함수로 돌아가서 3 곱하기 1 1 곱하기 4는 3 곱하기 1 빼기 4 더하기 2입니다 맞나요? 따라서 이는 3 곱하기 1 뺴기 4곱하기 1 이는 -1이고 더하기 2를 하면 양수 1이 될 것입니다 따라서 f(1)은 1입니다 x=0일 때 또한 저희는 기울기가 0임을 알고 있습니다 이 점이 변곡점인것도 알아냈습니다 맞나요? 볼록한 방향이 이 점을 기준으로 앞뒤에서 바뀝니다 따라서 이 점은 변곡점입니다 x가 0보다 작을 때 아래로 볼록합니다 두번째 도함수가 양수입니다 x가 0보다 클 떄 위로 볼록합니다 위로 볼록하다는 것입니다 바로 위에서 모든 구간은 아닙니다 x와 0 0바로 위에서 위로 볼록하다는 것입니다 f(0)의 값을 알아 그 점으로 그래프로 그리기를 원해서입니다 f(0) 보세요 f(0) 매우 쉽습니다 3 곱하기 0 빼기 4 곱하기 0 더하기 2는 2입니다 f(0)은 2입니다 마지막으로 x=2/3인 마지막 점이 남았습니다 (다른 색으로 해보겠습니다) 저희는 x=2/3인 점을 구했습니다 저희는 이 점이 변곡점임을 알고 있습니다 기울기는 이 점이 임계점이 아니므로 0이지는 않습니다 그리고 저희는 함수가 위로 볼록임을 알고 있습니다 저희는 x가 2/3 보다 작거나 2/3 보다 조금 작으면 함수가 위로 볼록함을 알고 있습니다 x가 2/3보다 클 때, 위에서 봤듯이 x가 2/3보다 클 때 여기에서 함수는 아래로 볼록이었습니다 두번째 도함수는 양수입니다 함수는 아래로 볼록입니다 이제 정확히 파악하였는데 f(2/3)의 값은 무엇일까요? 그것은 조금 복잡합니다 사실 그래프를 그리기 위해서 값을 파악해야 하는지도 모르겠습니다 저는 저희가 지금 알고 있는 정보로도 충분히 그래프를 잘 그릴수 있다고 생각합니다 이것들이 저희가 알아낸 사실들입니다 개략적인 그래프를 그려보도록 하겠습니다 축 2개를 이렇게 그려보겠습니다 저희는 그래프에 점 (0,2)를 그리고 싶습니다 점(0, 2)을 그려 보겠습니다 이 점이 x=0이고 올라가서 1, 2 이 점이 (0, 2) 입니다 (제가 아까 사용하던 색깔을 사용하도록 하겠습니다) 이 점이 그 점입니다 저희는 f(1)의 값을 알고 그 점은 (1,1)입니다 맞나요? 그것은 바로 이 점입니다 이 점이 (1,1)입니다 이 점이 (0,2)입니다 그리고 저희는 x=2/3인 점 저희 함수의 변곡점을 알고 있습니다 x가 2/3일 때 저희는 정확히 f(2/3)이 얼마인지는 모릅니다 아마 이쯤 될 것 같습니다 f(2/3)이 저기 있다고 가정합시다 이 점이 f(2/3)이 무슨 값을 가지든 x좌표가 2/3입니다 아마 값이 1.xxxx가 될 것 같습니다 f(2/3) 여러분들이 원하다면 계산하셔도 됩니다 그러면 함수에 다시 값을 넣으면 될 것입니다 하지만 저희는 그래프를 그릴 준비가 되었습니다 저희는 x가 1일 때 기울기가 0임을 알고 있습니다 기울기가 0임을 알고 있습니다 여기서 평평한 것입니다 함수가 위로 볼록한 것도 알고 있습니다 그래프를 그려보자면 이렇게 생겼습니다 여기서부터 저기까지의 구간에서 말입니다 함수는 아래로 볼록합니다 X가 0보다 클 때 그래프가 아래로 볼록함을 압니다 맞나요 저희는 x=2/3이후로 그래프가 아래로 볼록함을 알고 있었습니다 그것이 제가 그래프를 이렇게 U-자형으로 그릴수 있었던 이유입니다 이제 저희는 x가 2/3보다 작고 0보다 클 때 그래프가 위로 볼록함을 알고 있습니다 그러므로 그래프는 대략 이 구간에서 이렇게 그려 질 것입니다 함수는 위로 볼록입니다 조금 더 잘 그려 보겠습니다 이 구간에서 기울기는 감소합니다 여러분이 접선을 그려본다면 알게 될 것입니다 여기서 평평하고 조금씩 음의 값을 가지고 더욱더 음의 값을 가지고 더욱더 음의 값을 가지다가 변곡점이 되면 다시 증가하기 시작하고 이유는 그래프가 다시 아래로 볼록하기 때문입니다 마지막 구간은 0미만입니다 알아야 할 것은 0 아래 x가 0보다 작을 때 함수는 위로 볼록합니다 따라서 그래프는 이렇게 생길 것입니다 그래프는 저렇게 생겼습니다 그리고 저희는 x=이 임계점이고 그래프가 0임을 알고 있습니다. 따라서 그래프가 여기에서도 평평합니다 이 점은 변곡점이고 기울기가 0입니다 이것이 저희의 최종그래프입니다 완성하였습니다 이 모든 일이 끝나고 나서 저희는 저희의 미적분 기술과,변곡점 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 그 볼록한 방향의 변화에 대한 지식을 까다로운 그래프를 그리는데 사용하였습니다. 하지만 이것은 실제로 계산기에서 그린 그래프와 비슷한 모양을 가져야 합니다.