도함수를 사용하여 함수 분석하기

여기 f(x)에 관한 3차식 X^3-12X+2이 있습니다 이번 시간엔 어느 지점에서 함수f(x)의 극대값과 극소값을 가질 수 있는지에 대해 생각해 보려 합니다 이것을 알기 위해 함수 f(x)의 임계점이 무엇인지 먼저 알아야 합니다 어떤 임계점에서 극소값과 극대값을 가질 수 있을까요? 그리고 임계점을 결정하기 위해 우리는 함수를 미분해야만 합니다 왜냐하면 임계점은 미분이 0이 되거나 정의되지 않기 때문입니다 그래서 바로 여기 이 식의 미분은 여러번 식을 사용할 겁니다 그리고 이것을 상수법칙이라고 할 수 있습니다 x의 3제곱은 미분하면 3과 x제곱의 곱입니다 -12x의 미분은 -12입니다 그리고 상수의 미분은 x에 관한 변화가 없습니다 그래서 상수는 0이 됩니다 이 지점에서 어떤 x의 값이 정의되어 있지 않거나 0일 때 우리는 임계값을 가지게 됩니다 이 식은 x의 모든 값에 대해 정의되어 있습니다 유일하게 임계점을 찾을 수 있는 지점은 이 식이 0과 같을 때입니다 이 식을 0과 같다고 둡시다 어디에서 3과 x제곱에 12를 빼면 0이 될까요? 양변에 12을 같이 더합시다 그럼 3과 x제곱의 곱은 12가 됩니다 양변을 3으로 나눕니다 그럼 x제곱은 4가 됩니다 x가 2일 때와 x는 -2일 때 성립됩니다 정확하게 하자면 f(2)는 f´(2)는 3과 x제곱의 곱에 12x를 더하고 12를 뺀 식이고, 이것은 0입니다 그리고 f´(-2) 또한 똑같은 이유로 0이 됩니다 색을 바꿔서 해봅시다 f는 x가 2일 때 그리고 x가 -2일 때 임계점을 가집니다 충분하죠 그러나 여전히 이 함수가 이 점들에서 최소값을 가지는지 최대값을 가지는지 아니면 둘다 존재하지를 모릅니다 이것을 알기 위해 이 지점에서 도함수의 변화가 있는지를 알아봐야 합니다 그래프를 그려서 생각해봅시다 그래프를 그려봅시다 여기 축을 그립니다 여기에 그리겠습니다 나중에 함수 f(x)에 쓸 수도 있기 때문입니다 이것을 x축이라고 합시다 이것은 y축입니다 x는 2에서 임계점을 가집니다 이 점은 1, 2입니다 x는 -2입니다 이 미분함수는 어떻게 그릴 수 있을까요? 도함수에서 x가 0일 때 -12가 됩니다 y는 -12입니다 이것이 f´(x)의 함수입니다 이렇게 그릴 수 있습니다 여기에서 분명하게 도함수가 0입니다 x축 위로 여기서 그립니다 이 임계점에서 도함수는 무엇일까요? 이 지점에서 도함수가 양수에서 음수로 바뀝니다 도함수가 양수에서 음수로 바뀔 때 이 임계점에서 극대값을 가집니다 이 점에서는 음수에서 양수로 바뀌고 그리고 여기서 함수의 극소값을 가지게 됩니다 극소값입니다 우리의 직감이 맞다고 확신합니다 만약 어떤 함수가 증가한다면 이 지점에서 실제로 도함수는 0이 됩니다 도함수가 또한 정의되지 않습니다 그러나 도함수가 0이고 함수는 다시 감소하기 시작하고 그래서 이 점이 극대값이 됩니다 비슷하게 함수가 감소하면 도함수는 음수가 됩니다 이것이 바로 도함수의 그래프입니다 정확하게 해봅시다 y의 그래프는 f(x)의 그래프가 아니라 f´(x)함수입니다 이 지점을 보면 함수의 기울기는 음수입니다 여기서 기울기는 음수이고 함수는 이렇게 모양처럼 보일 겁니다 이 지점에서 함수는 정의되지 않거나 기울기가 0이 됩니다 이 경우에는 기울기가 0입니다 그리고 나서 우리는 음수인 기울기를 가지고 바로 여기서는 기울기가 0이 됩니다 좀 더 잘 그릴 수 있을 것 같습니다 우리가 바로 이 지점에서 음수인 기울기를 가진다면 바로 이 지점에서는 기울기는 0이 됩니다 그리고 나서 양수인 기울기를 가집니다 함수는 다시 증가합니다 바로 여기 이 지점에서 극소값을 가진다고 말할 수 있습니다 여기서 한 것은 도함수가 주어졌을 때 함수를 어떻게 보이는 지를 개념화하려고 한 것입니다 이 경우 임계점을 지나 도함수가 양수에서 음수로 바뀌거나 도함수가 음수에서 양수로 바뀝니다 이것이 바로 극대값이 되고 여기에서 극소값이 됩니다 이 방법에서 f(x)의 그래프를 그리는 방법에 대해 앞에서 말한 직관대로 그릴 수 있을까요? 한번 해봅시다 정확하진 않고 대충 그려 보겠습니다 적어도 f(x)함수가 어떤 모양인지를 보여줄 것입니다 최선을 다해 볼게요 완전하게 그려 지진 않았습니다 여기는 x축이고 여기는 y축입니다 x가 +2일 때 우리는 임계값을 가집니다 그리고 -2일 때도 임계점을 가집니다 여기서 y절편임을 알고 있습니다 만약 y의 그래프가 f(x)와 같다면 x가 0이면 f(0)은 2가 됩니다 바로 여기에 찍을게요 이 축을 완전하게 x축가 같은 크기로 그리기를 원하지 않습니다 이 점을 2라고 합시다 이 지점을 지날 것이빈다 이 점이 바로 y절편입니다 이미 말했듯이 x가 -2일 때 극대값을 가집니다 f(-2)의 값은 무엇입니까? f(-2)는 -8입니다 -8입니다 여기에 -2를 12배하면 -24가 됩니다 이것을 더합니다 -24를 빼면 +24가 됩니다 그리고 마지막으로 2를 더합니다 -8+24+2이고 -8+24는 16이고 여기에 2를 더하면 18이 됩니다 f(-2)는 18이 됩니다 정확하게 그리지 않습니다 여기를 18이라고 합시다 이것은 함수입니다 이점이 (-2,18)입니다 이것이 극대점입니다 이 점에서 도함수는 음수입니다 이 점에서 도함수는 음수입니다 아니 이 점에서 도함수는 양수입니다 여기서 증가합니다 이 기울기는 양수입니다 이 점을 지난 후에 기울기는 다시 음수가 됩니다 x축을 지나는 도함수는 기울기가 음수가 됩니다 실제로 똑같은 색을 사용합니다 이렇습니다 물론 이 그래프는 y절편을 지나고 이렇게 됩니다 그리고 나서 x가 점점 2에 가까이 갈수록 또 다른 임계점을 가집니다 f(2)의 값은 무엇인가요? f(2)는 +8-24+2와 같습니다 이것은 10-24이고 -14가 됩니다 바로 이 점을 -14라고 합시다 실제로 약간 그려 볼 수 있습니다 이 점을 -14라고 합시다 바로 여기가 f(2)의 값입니다 이미 알고 있듯이 여기에 다가갈수록 기울기는 음수입니다 함수는 여기에 다가갈수록 감소합니다 그리고 바로 이 점에서 기울기는 0입니다 이미 이 식을 찾았습니다 이것이 우리가 임계점을 정의한 방법입니다 그리고 나서 이후에는 도함수가 양수이므로 기울기는 증가합니다 기울기는 증가합니다 이것이 주어진 임계점을 이용해서 그린 f(x)함수의 그래프라 말할 수 있습니다 2가 극소값을 정의할 수 있습니다 이것이 극소값입니다 이 함수는 x가 2일 때 극소값을 가집니다 그리고 x가 -2일 때 이 함수는 극대값을 가집니다