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동영상 대본

당신이 새로운 신발 공장을 만들었는데 수익을 최대로 하기 위해서는 얼마나 많은 신발을 생산해야하는지 알고 싶습니다 x를 생산되는 천켤레 단위의 신발의 개수라고 합시다 이제 생각해봅시다 켤레당 얼마나 많은 돈을 벌 수 있는지 사실 수익을 말하려고 합니다 신발들을 팔게 되어 실제로 얻게되는 돈 말입니다 여기에 함수를 써봅시다 수익의 x에 대한 함수를 도매업자가 있다고 해봅시다 당신에게 가능한 많이 켤레당 10달러에 신발을 구매할 당신 역시 그에게 팔고 싶어하고 수익의 x에 관한 식은 10*x가 될것입니다 x가 천켤레 단위이기 때문에 x가 1이면 그것은 수익이 1000*10=10000달러라는 것을 의미합니다 하지만 그냥 10으로 합시다 즉 여기 있는 수익 역시 천달러 단위로 하겠습니다 x가 1이면 1000켤레의 신발이 생산되었다는 것이고 10*1은 r이 10이라는 것을 의미합니다 하지만 실제로는 10000달러 입니다 좋은 산업이 될 것입니다 만약 당신이 저 수익을 비용 없이 얻었다면 하지만 당신은 비용이 필요합니다 당신은 재료도 필요하고, 공장도 지어야하고 직원들에게 급여도 줘야하고 전기요금도 내야합니다 그래서 당신은 상담원을 고용했습니다 비용이 x의 함수로 어떻게 되는지 생각해보기 위해 그리고 함수를 생각해봅시다 상담원들은 비용이 x^3-6*(x^2)+15*x 라고 말합니다 그리고 다시 한번, 이것은 천달러 단위입니다 정해진 r(x)와 c(x)를 이용하면 순이익의 x에 관한 함수는 어떻게 될까요? p(x)는 r(x)-c(x) 입니다 특정 양을 생산했고 수익이 1만 달러고 그 신발들을 생산하는데 5천 달러가 들었다고 합시다 그러면 순이익은 5천 달러가 될것입니다 저 숫자들은 실제로 저기서 얻을 수 있는 값이 아닙니다 그냥 예시를 들고 있습니다 이것이 지금 최대화하고 싶은 함수입니다 p(x)를 최대로 하고 싶습니다 그것이 무엇일까요? 여기서 추상적인 용어로 썼지만 우리는 r(x)와 c(x)가 무엇인지 알고 있습니다 이것은 10x 빼기 여기있는 것들 입니다 그러니까 -x^3+6*(x^2)-15x입니다 저는 그냥 x^3을 뺐고 -6*(x^2)는 양수가 되고 15x를 뺍니다 이것을 간단히 해보면 -x^3+6x^2-15x+10x -15x+10x는 -5x가 됩니다 우리가 p(x)를 최대로 하고 싶다면 생각하기 가장 쉬운 방법은 p(x)의 임계점이 무엇인지 생각하는 것입니다 그리고 그 임계점들 중 최소 혹은 최대가 되는 점이 있는지를 생각합니다 만약 임계점 중 하나가 최대점이면 우리는 그만큼 생산하자고 말할 수 있습니다 그 값은 수익을 최대로 하기 위해 생산해야하는 신발의 양이 될 것입니다 임계점을 알기 위해서 우리는 p(x)의 미분값을 알아야합니다 그리고 그 미분값이 0이거나 미분이 정의가 되지 않는 곳을 알아야합니다 그것이 임계점의 정의입니다 p'(x)는 -3*x^2+12x-5가 될 것입니다 이것은 모든 x에 대해 정의가 됩니다 때문에 임계점은 미분값이 0일때 뿐입니다 즉 -3x^2+12x-5=0이 되어야 합니다 x가 임계점이 되기 위해서는 이제 우리는 x값을 알아야합니다 우리는 2차 방정식을 풀어야합니다 음의 부호를 줄이기 위해서 양변에 -1을 곱합시다 최고차항 계수를 깨끗하게 만드는 것을 좋아합니다 양변에 -1을 곱하면 3x^2-12x+5=0이 됩니다 x를 구하기 위해 근의 공식을 사용할 수 있습니다 x는 -b 즉 12+ ±√ 근호를 충분히 넓게 만들어야합니다 √(b^2에 해당하는 144 빼기 4곱하기 a에 해당하는 3 곱하기 c에 해당하는 5입니다 저것을 2a로 나누면 됩니다 2*3은 6입니다 x는 12±√( 4*3는 12고 거기에 5를 곱하면 60입니다 144-60=84 입니다 그리고 6으로 나누면 됩니다 즉 x는 (12+√84)/6이거나 (12-√84)/6일 수 있습니다 이 두 값이 무엇인지 알아봅시다 계산기를 사용하겠습니다 이것을 계산해보면 (12+√84)/6은 3.53이라고 하겠습니다 대략 3.몇 정도 됩니다 천 단위이기 때문에 소수점 몇자리를 더 써서 3.528이라고 합시다 그러면 3528개의 신발이 될 것입니다 이것이 천 달러 단위이기 때문에 x의 다른 값에 대해서 생각해봅시다 우리가 전에 입력한 값에서 이것을 빼기로만 바꿔주면 됩니다 음의 부호로 바꾸지 말고 빼야합니다 여기있습니다 0.4725가 나옵니다 기억합시다 0.4725 대략적으로 0.4725입니다 제 기억력이 정말 안 좋기 때문에 같은 것을 썼는지 검토해봅시다 4725 맞습니다 좋아요 이게 우리가 아는 전부입니다 두 점은 모두 임계점입니다 이 점들은 미분값이 0이 됩니다 하지만 우리는 저 점에서 최솟값인지 저 점들이 함수의 최솟값인지 최댓값인지 둘 다 아닌지 모릅니다 2차 미분 테스트를 사용합시다 함수가 아래로 볼록인지 위로 볼록인지 혹은 둘다 아닌지 알기 위해서 2차 미분을 봅시다 p'(x)는 -6x+12 입니다 충분한 공간이 있는지 봅시다 우리가 p''(3.528)을 계산해보면 이것을 생각할 수 있는지 봅시다 이것은 3이랑 4 사이 입니다 낮은 값을 보면 3*(-6)은 -18이고 +12를 하면 0보다 작습니다 이것이 4였으면 더 음수였을 것입니다 그래서 이 값이 0보다 작습니다 계산기를 사용할 필요 없습니다 이 값에 대해서는 어떻게 될까요? 0.47말입니다 0.47은 대략 0.5입니다 -6*0.5는 -3이 됩니다 이것은 음수가 아닙니다 분명히 양수가 됩니다 즉 p''(0.4725)는 0보다 큽니다 이차 미분이 0보다 작다는 것은 미분값이 감소한다는 것을 의미합니다 미분값이 감소하는 중입니다 x가 이 값일 때 우리의 그래프, 함수는 위로 볼록입니다 아래로 볼록이라는 것은 이렇게 생긴것을 의미합니다 당신은 이게 어떻게 생겼는지 볼 수 있습니다 기울기가 감소하고 있습니다 기울기가 감소하는 구간을 보면 기울기가 0이 되는 점을 알 수 있습니다 즉 x가 3.528일 때 최대가 됩니다 x가 3.528일 때 최댓갑을 가지고 여기에서는 아래로 볼록이라서 이렇게 생겼을 것입니다 기울기가 0일 때를 보면 극솟값인 것을 알 수 있습니다 우리는 분명히 이것을 하고 싶지 않습니다 472.5개의 신발을 생산하고 싶습니다 순이익을 최소화하기 위해서는 손실을 최대로 해야합니다 우리는 이것을 정말 하고 싶지 않습니다 하지만 생각해봅시다 순이익이 어떻게 될지 3528개의 신발의 생산하면 우리는 이것을 다시 대입해야 합니다 초기 순이익 함수에 해봅시다 계산기를 꺼냅시다 순이익 함수는 저기 있습니다 저것과 저것을 보고 싶습니다 -3.528^3+6*(3.528^2)-5*3.528 계산해보면 13.128이 나옵니다 이것을 써봅시다 3528개의 신발을 생산했을때의 순이익은 저 만큼의 신발을 생산하면 13.128입니다 혹은 사실 대략적으로 3528개의 신발을 생산하면 13128달러의 순이익이 생깁니다 여기 이 값이 천 단위이기 때문에 13.128 천달러 입니다 13128 달러와 같은 우리는 이제 부자 제조업자가 될 것입니다