박스 크기 최적화 문제 2

지난 영상에서 우리는 각 코너에서 어느 정도의 x를 잘라내야 부피를 최대로 만들 수 있을지 생각해보았습니다 그래프를 이용해서요 이번 영상에서는 미적분을 이용하여 같거나 더 나은 결과가 나오는지 보려고 합니다 우선 x에 대한 방정식인 부피의 임계점에 대해 알아보려고 하는데요 그러려면 부피식을 미분해야 합니다 괜히 계산을 번거롭지 않게 하기 위해 괜히 계산을 번거롭지 않게 하기 위해 괜히 계산을 번거롭지 않게 하기 위해 이 두 식을 곱해보겠습니다 x에 대한 함수로 부피를 나타내려는데 이 두 식부터 계산하겠습니다 20×30=600 20×(-2x)=-40x (-2x)×30=-60x (-2x)×(-2x)=4x² (-2x)×(-2x)=4x² 이제 여기서 4x²-100x+600 으로 순서를 바꾸겠습니다 그리고 여기에 다시 x를 곱해주면 4x³-100x²+600x 4x³-100x²+600x 이제 미분을 해보겠습니다 이 식의 도함수는 4×3=12 4×3=12에 x³ 이 x² 이 되고 -100×2=-200 x²이 x가 되고 +600 이제 이 식의 값이 0이 될 때를 찾아보겠습니다 12x²-200x+600=0 가 되려면 12x²-200x+600=0 가 되려면 x가 얼마여야 할까요? 언제 이 그래프의 기울기가 0이 될까요? 도함수가 정의되지 않은 영역에서 임계점을 찾을 수도 있겠지만 이 도함수는 0≤x≤10 에서 정의되어 있습니다 이걸 계산하거나 단순화시킬 수도 있지만 곧바로 2차 함수의 근의 공식을 사용하겠습니다 이 식을 만족시키는 x를 보면 -b = -(-200)으로 -b = -(-200)으로 200이 되고 ±√(b²-4ac)는 ±√(b²-4ac)는 (-200)²=200² 이니까 (-200)²=200² 이니까 (-200)²=200²=40000 (-200)²=200²=40000이니까 40000-4ac 가 되고 -4×12×600 -4×12×600 이 식을 2a로 나눠줍니다 24로 나누겠습니다 이제 이 식을 계산해보겠습니다 먼저 근호를 더해보면 200+√(40000-4×12×600)= 200+√(40000-4×12×600)= 305가 됩니다 24로 나눠주면 12.74 x의 두 근 중 하나는 12.74 이번에는 근호를 빼보겠습니다 200-√(40000-4×12×600)= 200-√(40000-4×12×600)= 200-√(40000-4×12×600)= 200-√(40000-4×12×600)= 계산해서 24로 나누면 3.92가 됩니다 계산에 틀린 부분이 없으니까 x=12.74 나 3.92 어떤 쪽을 쓸 수 있을까요? x=12.74 는 범위를 벗어나니까 상자의 접히는 부분이 서로 겹칠 것입니다 따라서 x는 12.74가 될 수 없으니 x=3.92일 때 임계점입니다 그래프를 보면 최대값이 맞는 것 같습니다 만약 그래프를 그리지 않았다면 미분을 한 번 더 해 보고 x=3.92 일 때 그래프가 어느 쪽으로 휘어졌는지 판단해야 합니다 미분을 한 번 더 해보겠습니다 V''(x)= V''(x)= 24x V''(x)= 24x-200 x＜4니까 24x＜100 여기서 200을 빼면 V''(3.92)＜0 이 됩니다 V''(3.92)＜0 이 됩니다 여러분은 정확한 값을 구해봐도 됩니다 V''(3.92)＜0 이므로 아래쪽으로 오목한 그래프가 됩니다 다시 말해서 기울기가 계속 감소합니다 그러면 그래프는 이렇게 생겼을 겁니다 기울기가 점점 작아지다가 0이 되고 계속해서 작아집니다 그래프가 위로 볼록한 모양이므로 임계점이 바로 임계점이 바로 최대값임을 알 수 있습니다 즉 3.92가 상자의 부피를 최대가 되게 하는 x값입니다 최대 부피는 얼마가 될까요? 다시 V(x)에 대입해보면 알 수 있을 겁니다 최대값을 다시 계산해보겠습니다 x는 약 3.92 정확한 수치를 쓸 수도 있겠지만 대략적인 값을 사용하겠습니다 이 식에 대입하겠습니다 이 식에 대입하겠습니다 3.92×(20-2×3.92)×(30-2×3.92)= 1056.3 우리가 예상한 것보다 더 큰 값이 나왔습니다 조금 더 구체적인 값을 사용했다면 보다 정확한 답이 나왔겠지만 그래도 괜찮습니다 분석적인 방법을 사용하면 그래프를 이용했을 때보다 더 정확한 답을 얻을 수 있습니다