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주요 내용
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동영상 대본

윗 부분이 뚫려있는 직사각형 저장 용기는 10m³의 부피를 가지고 있습니다 밑면의 길이는 너비의 두배입니다 밑변의 재료는 제곱미터당 10달러입니다 옆면의 재료는 제곱미터당 6달러입니다 저장 용기의 최저 재료 값을 찾아봅시다 먼저 저장 용기를 그려봅시다 열려있는 직사각형 저장용기입니다 위가 뚫려있어야 합니다 제가 그릴 수 있는 대로 위가 뚫려있게 그려보겠습니다 윗부분이 열려있습니다 용기의 윗부분입니다 옆면도 그려보겠습니다 그림처럼 말입니다 그림처럼 생겼을 겁니다 윗부분이 열려있기 때문에 용기의 안 쪽까지 그릴 수 있습니다 용기는 아마 그림처럼 생겼을 겁니다 문제가 우리에게 무엇을 말하고 있습니까? 먼저 부피는 10m³가 되어야 합니다 여기 써 보겠습니다 부피는 10m³가 되어야 합니다 밑변의 길이는 너비 길이의 두 배가 되어야 합니다 너비를 x라고 두면 밑변의 길이는 두 배가 되어야 합니다 2x라고 둘 수 있습니다 바로 이 문장에서 얻을 수 있는 정보입니다 밑면의 재료는 제곱미터당 10달러라고 합니다 여기 보이는 이 부분을 봅시다 투명하다고 가정하면 여기에도 그릴 수 있습니다 바로 이 부분은 제곱미터 당 10달러입니다 제곱미터 당 10달러라고 적어놓겠습니다 옆면의 재료는 제곱미터 당 6달러라고 합니다 따라서 이 부분은 제곱미터 당 6달러입니다 이 상자에 얼마의 비용이 들지 x의 함수로 나타낼 수 있나 봅시다 x는 밑변의 길이만을 제공하고 있습니다 높이에 대한 치수도 필요합니다 이제 x와 높이에 대한 함수로 표현됩니다 여기 높이를 h라고 쓰겠습니다 이 용기의 가격은 얼마가 되겠습니까? 먼저 밑면의 가격은 면적과 면적 당 가격 즉 면적에 10달러만큼 곱해진 가격이니 10을 먼저 쓰겠습니다 밑면의 넓이에 10배가 곱해질 것입니다 밑면의 넓이는 얼마입니까? 너비×길이가 될 것입니다 10 × x × 2x 가 될 것입니다 밑면의 가격이 됩니다 옆면의 가격은 어떻게 되겠습니까? 다른 옆면끼리는 다른 치수를 가질 것입니다 앞쪽의 옆면과 뒤에 보이는 옆면은 같은 넓이를 갖습니다 이 두 부분은 x×h의 넓이를 갖습니다 x×h라고 쓰면 됩니다 옆면의 재료는 제곱미터 당 6달러입니다 한 옆면 당 6×x×h의 가격을 갖습니다 두 면이니 두 배를 곱해주고 2×6×x×h를 더해줍시다 또 다른 두 옆면이 남았습니다 오른쪽의 이 옆면과 왼쪽의 이 옆면이 남아있습니다 각 부분의 넓이는 2x×h가 됩니다 2x×h라고 쓸 수 있습니다 재료의 가격은 6달러니까 한 쪽 판의 가격은 6×2x×h가 될 것입니다 이 판이 두 개가 있으니 두 배를 곱해줘야 합니다 여기서 얻을 수 있는 이 식들이 옆면의 가격이 될 것입니다 이제 간단하게 바꿔봅시다 흰 색으로 쓰겠습니다 식을 간단히 해 봅시다 10×2는 20입니다 x×x는 x²입니다 이제 2×6×xh이 남았습니다 12xh라고 쓸 수 있습니다 뒷부분에 있는 항은 24xh가 될 것입니다 따라서 간단히 하면 20x²+36xh가 됩니다 용기에 대한 가격이 됩니다 하지만 아직 식을 최적화하지는 않았습니다 우리는 두 변수 사이를 어떻게 간단히 하는지 모릅니다 한 변수에 대해서 간단히 하는 방법만 알고 있습니다 이제 x에 대해서 간단히 해보겠습니다 x에 대해 간단히 나타내기 위해서는 h를 x에 대한 함수로 나타내어야 합니다 어떻게 할 수 있을까요? h를 x에 대한 함수로 나타낼 수 있습니까? 우리는 부피가 10m³라는 사실을 알고 있습니다 너비×길이, 즉 x×2x에 높이 h를 곱한 값이 10과 같아야 합니다 다시 말하면 2x²h는 10이 되어야 합니다 h를 x에 대한 함수로 나타내기 위해서 양 변을 2x²으로 나누어줍니다 h가 10/2x²과 같다는 사실을 알 수 있습니다 h가 5/x²과 같다고도 할 수 있습니다 원래 식으로 다시 돌아와서 h를 5/x²으로 바꿉시다 이제 식은 20x²+36x×5/x²으로 나타내집니다 가격에 대한 x의 함수는 20x²+180/x로 간단히 할 수 있습니다 36×5는 180이니까요 x에 x²을 나눠주면 뒷부분의 항은 180/x로 나타내집니다 이제 완전히 x에 대한 함수로 가격을 나타냈습니다 간단히 나타냈습니다 가격을 최소화하기 위해서 극값이 어딘지 살펴봅시다 극값은 아마 최솟값과 최댓값 중 하나가 될 것입니다 뭘 할 수 있는지 살펴봅시다 극값을 얻기 위해서 미분을 합시다 미분이 정의되지 않거나 0과 같아질 때 극값의 후보가 될 수 있습니다 그 극값들로 부터 최솟값과 최댓값을 찾을 수 있습니다 C(x)를 x에 대해 미분하면 40x-180/x²으로 나타낼 수 있습니다 이 식은 x가 0일 때를 제외하고는 모든 x에 대해 정의되는 것으로 보입니다 x가 0일 때는 극값으로 별로 흥미가 가지 않습니다 x가 0이면 박스의 부피를 정의할 수 없기 때문입니다 밑변의 길이를 가지지 않게 됩니다 따라서 이 경우는 극값에 대해 생각하지 않아도 됩니다 부피를 가지지 않기 때문에 후보가 될 수 없습니다 또 x가 0이라면 높이 또한 정의되지 않습니다 따라서 이 미분식은 0을 제외한 모든 x에서 정의됩니다 이제 이 미분값이 0과 같아지는 지점을 찾아보겠습니다 여기에 써보겠습니다 언제 40x-180/x²이 0과 같아질까요? 양 변에 180/x²을 더해줍니다 40x가 180/x²과 같다는 식을 얻을 수 있습니다 이제 식을 봅시다 양 변에 다시 x²을 곱해줍니다 40x³이 180과 같다는 식을 얻었습니다 양변을 40으로 나눠봅시다 x³은 180/40과 같습니다 18/4 또는 9/2로 표현할 수도 있습니다 x를 풀기 위해서 이 x가 극값이라고 해 봅시다 우리는 x가 (9/2)⅓일 때 극값이라는 사실을 알았습니다 근사값을 찾아봅시다 9/2는 4.5로 생각할 수 있습니다 여기에 세제곱근을 해줍니다 1.65라는 값을 얻을 수 있습니다 우리가 찾고자 하는 극값은 근사적으로 1.65임을 얻었습니다 문제가 묻고 있는 것은 정확한 하나의 극값입니다 x가 어떤 값을 가질 때 최솟값을 얻을 수 있는지를 묻고 있는 것입니다 2차 미분을 해서 이 경우 위로 오목인지 아래로 오목인지 살펴보고 우리가 얻고자 하는 x의 값이 최솟값일 때의 x가 맞는지 확인해 봅시다 이차 미분을 해봅시다 여기에 쓰겠습니다 가격 함수에 대한 이차 미분은 이 함수를 미분하면 됩니다 40+360/x³이 됩니다 (-2)×(-180)이 360이고 x를 x³으로 나눠주면 미분항을 얻을 수 있습니다 x가 1.65일 때 이 식은 양수가 됩니다 c''(1.65)는 명확히 0보다 큽니다 x가 1.65일 때 위로 오목하다는 사실을 알 수 있습니다 위로 오목하다는 말은 그래프가 이렇게 생겼다는 말입니다 미분값이 0일 때 우리는 최솟값에 있습니다 이 때가 가격이 최소일 때입니다 문제로 다시 돌아가서 우리가 해야할 일을 봅시다 우리는 용기값이 최소일 때의 x값을 알고 있습니다 용기의 가장 싼 재료값의 가격을 구해야 합니다 가격이 얼마인지 알아봅시다 가격을 x에 대한 함수로 알고 있기 때문에 1.65를 이 식의 x에 대입하면 됩니다 1.65일 때의 함숫값을 계산해봅시다 가격은 20×(1.65)² 이 때 구하는 값이 근사적으로 같다는 것을 잊으면 안됩니다 근사적인 값을 넣어서 계산했기 때문입니다 180을 더해주고 1.65로 나눠줍니다 1.65에 (-1)제곱을 해주는 것과 같습니다 이 식을 계산하면 163과 같아집니다 163.5달러라고 말할 수 있습니다 근사적으로 말입니다 새로운 색으로 써보겠습니다 이제 거의 다 왔습니다 x가 근사적으로 1.65일 때 가격은 163.54달러입니다 따라서 꽤 비싼 비용이지만 163.54달러가 답입니다 꽤 비싼 재료를 사용했나 봅니다 크기도 생각보다 큽니다 너비가 1.65m이고 옆의 길이가 두 배입니다 높이도 얼마인지 알 수 있습니다 높이는 생각보다 크지 않습니다 5/(1.65)²입니다 대략적으로 2m 조금 안되는 정도일 것 같습니다 꽤 비싼 재료로 만든 꽤 큰 박스였습니다 이 박스를 만드는 최소 비용은 163.54달러입니다