삼각형 & 사각형의 넓이 최적화 문제 2

저번 영상에서 그만둔 부분에서 우리는 표현을 생각해냈습니다 혼합 영역의 넓이를 x에 관한 함수로 우리가 자른 위치에 따라서 이제 우리는 알아내야합니다 어디서 최솟값을 가지는지 그리고 그것을 하기 위해서 이것을 미분해야합니다 언제 미분값이 정의되지 않거나 0인지 알아내기 위해서 그리고 그것이 최솟값인지 확인하기 위해서 그러면 모든 준비가 되었을 것입니다 이것을 다시 써보겠습니다 혼합 영역 넓이의 x에 관한 함수입니다 그냥 다시 쓰겠습니다 미분을 더 쉽게 하기 위해서 이것은 √3 곱하기 x^2 나누기 봅시다 이것은 4 곱하기 9 입니다 이것은 (x^2)/9입니다 그래서 이것은 4에 9를 곱해서 36이 됩니다 그리고 이 파란색 항은 이것은 더하기 100 빼기 (x^2)/16이 됩니다 이제 이것을 미분해 봅시다 A' 즉 x에 관한 함수인 혼합영역의 미분은 같을 것입니다 이것의 x에 관한 미분은 √3x/18이 됩니다 이것의 x에 관한 미분은 이것은 뭔가의 제곱을 16으로 나눈것의 미분입니다 그 무언가에 관하여 그 무언가의 1제곱에 2/16를 곱한 것이 될것입니다 즉 그냥 나누기 8입니다 그 다음 곱하기 우리는 그냥 연쇄 법칙을 하고 있습니다 곱하기 그 무언가의 x에 대한 미분입니다 100-x 의 x에 대한 미분은 -1입니다 그래서 -1을 곱합니다 그래서 우리는 여기에 -1을 곱할 것입니다 우리는 이 식을 모두 다시 쓸 수 있습니다 이것은 √3x/18+ 흠 봅시다 이것을 +x/8이라고 쓸 수 있습니다 이것을 x/8로 쓸 수 있습니다 -1 곱하기 -x는 +x/8이 되기 때문입니다 그리고는 -100/8을 합니다 이 값은 -12.5 입니다 우리는 넓이를 최소로 하는 x의 값을 알고 싶습니다 이것의 미분은 모든 x에 대해 정의되어 있습니다 그래서 미분이 정의되지 않는 점을 이용해서 임계점을 알아내지는 않을 것입니다 하지만 우리는 임계점을 얻을 수 있습니다 이 미분값이 0으로 설정하면 어떤 x값이 미분값을 0으로 만드는지 알아내기 위해서 언제 원함수의 기울기가 0이 되나요? 그리고 우리는 증명해야합니다 이것이 최소점이라는 것을 x를 찾을 수 있다면 이것을 0으로 만드는 x에 관한 방정식을 풀어봅시다 양변에 12.5를 더하면 우리는 12.5는 같습니다 x에 관한 항을 더하면 (√3/18+1/8)*x 를 얻을 수 있습니다 x에 관해 풀기 위해서 양변을 이것으로 나눕시다 여러분은 x가 12.5를 (√3/18+1/8)로 나눈 것과 같다는 것을 알 수 있습니다 그러면 해냈습니다 x가 이 값일 때 미분값이 0이 됩니다 하지만 아직 다 했다고는 말하지 못하겠습니다 우리는 이 점이 최소점인지 알지 못합니다 이것이 최소점인지 알아내기 위해서 우리는 함수가 위로 볼록인지 아래로 볼록인지 알아야합니다 x가 이 값일 때 그것을 알아내기 위해서 2차 미분을 해봅시다 2차 미분을 써보겠습니다 이것들의 2차 미분은 이것은 밑의 식과 같은 함수였습니다 다시 써보겠습니다 A' 즉 넓이의 미분은 √3x/18+x/8-12.5와 같습니다 2차 미분은 √3/18+1/8이 될 것입니다 여기 있는 것은 0보다 큽니다 그리고 그것은 아래로 볼록이라는 것을 의미합니다 아래로 볼록은 모든 x에서 이런 식으로 생겼다는 것을 의미합니다 그래서 기울기가 0이 되는 x값을 찾으면 구간에 있을 것입니다 아래로 볼록인 모든 x에 대해 아래로 볼록입니다 그러면 우리는 최소점을 얻게 됩니다 여기서 기울기는 0입니다 이것이 최소점이 될 것입니다 다시 한 번 말하면 이것이 최소점입니다 우리가 실제로 100m 철사를 가지고 있다면 이 표현은 가치가 높지 않습니다 우리는 근사를 하고 싶습니다 우리가 실제로 자를 부분에 대해서 10진수로 말입니다 그것을 얻기 위해서 계산기를 사용합시다 12.5 나누기 (√3/18+1/8)을 해보면 결론에 다 왔습니다 56.5입니다 이것은 거의 56.5m입니다 대략 56.5m로 자르면 됩니다 좌변을 56.5m로 자릅니다 그러면 혼합 영역 넓이가 최소가 됩니다 이 두 그림의