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삼각형 & 사각형의 넓이 최적화 문제 1

동영상 대본

100미터의 긴 철사가 있다고 해봅시다 여기에 철사가 있습니다 그리고 그것은 100미터죠 이 철사의 한 부분을 자르겠습니다 여기를 한 번 잘라보겠습니다 두 부분 중에서 왼쪽 부분에 두 부분 중에서 왼쪽 부분에 정삼각형을 만들 것입니다 오른쪽 부분에는 정사각형을 만들 것입니다 여기서 제 질문은 자르는 부분을 어디로 해야 삼각형과 사각형을 합친 넓이를 최소화할 수 있을지 구하는 것입니다 알아봅시다 최소화하려는 변수를 정의해봅시다 아니면 최적화하려는 것을 정의해봅시다 변수 x를 자른 조각 중 왼쪽 조각의 길이(미터)라고 정의하겠습니다 그렇게 하면 이 정삼각형의 총 변의 길이는 x 미터가 될 것이고 정사각형의 총 변의 길이는 x를 왼쪽 조각에 썼으므로 오른쪽 조각의 길이는 100-x 미터라고 할 수 있습니다 삼각형과 사각형의 각 변의 길이는 어떻게 되겠습니까? 삼각형과 사각형의 각 변의 길이는 어떻게 되겠습니까? 정삼각형의 한 변의 길이는 모두 각각 x/3이 되겠네요 정삼각형의 한 변의 길이는 모두 각각 x/3이 되겠네요 정사각형의 각 변의 길이는 모두 각각 (100-x)/4가 되겠습니다 정사각형의 각 변의 길이는 모두 각각 (100-x)/4가 되겠습니다 x에 대한 정사각형의 넓이는 알아내기 쉽습니다 한 변의 길이에 대한 함수로 정삼각형의 넓이를 나타내어 보겠습니다 여기에서 더 설명하겠습니다 여기에 정삼각형이 있습니다 이렇게 말입니다 한 변의 길이는 모두 s입니다 삼각형의 넓이는 1/2×(밑변의 길이)×(높이) 입니다 이 경우에는 높이는 고도가 될 것이고 수선을 내려보겠습니다 고도가 될 것이고 수선을 내려보겠습니다 이 부분의 길이는 높이입니다 이것은 수직이 되겠죠 삼각형의 넓이는 1/2×s×(높이)일 것입니다 삼각형의 넓이는 1/2×s×(높이)일 것입니다 삼각형의 넓이는 1/2×s×(높이)일 것입니다 h(높이)를 어떻게 s의 함수로 나타낼 수 있을까요? 잊지 말아야 할 것은 여기에 그린 이 삼각형은 직각삼각형이라는 것입니다 정삼각형의 왼쪽 부분 말이죠 이 직각삼각형의 밑변의 길이는 알고 있습니다 길이가 h인 변은 정삼각형의 밑변을 정확히 두 부분으로 나눕니다 이 부분의 길이는 s/2입니다 h가 얼마인지 알아내기 위해서 피타고라스 정리를 사용할 것입니다 그러면 h²+(s/2)²=s² 라는 식을 만족해야 합니다 그러면 h²+(s/2)²=s² 라는 식을 만족해야 합니다 그러면 h²+(s/2)²=s² 라는 식을 만족해야 합니다 정리하면 h²+s²/4=s²가 됩니다 정리하면 h²+s²/4=s²가 됩니다 양변에 각각 s²/4를 빼줍니다 그러면 h²=s²-s²/4 가 결과로 나옵니다 s²을 다르게 적어보면 4s²/4로 표현할 수 있습니다 같은 분모를 가지게 만들었습니다 (4s²-s²)/4는 3s²/4가 됩니다 정리하면 h²=3s²/4를 얻습니다 양변에 근호를 씌워줍니다 그러면 h=√(3s²/2)입니다 그러면 h=√(3s²/2)입니다 구한 값을 넓이 공식에 대입해보겠습니다 구한 값을 넓이 공식에 대입해보겠습니다 넓이는 1/2×h×s 가 됩니다 h는 이 값이죠 s에 이 값을 곱할 것입니다 1/2×s×(√3)s/2가 넓이가 됩니다 s×s는 s²입니다 그래서 이 값은 (√3)s²/4가 됩니다 그래서 이 값은 (√3)s²/4가 됩니다 그래서 이것이 정삼각형의 넓이입니다 한 변의 길이에 대한 함수로 나타낸 것이지요 이 삼각형의 넓이는 어떻게 되겠습니까? 이 작은 정삼각형의 넓이를 구해서 합친 넓이를 적어보겠습니다 중립적인 색인 흰색을 사용하겠습니다 합친 넓이를 Ac로 적어보겠습니다 AC는 정삼각형의 넓이인 AT와 정사각형의 넓이인 AS의 합입니다 정삼각형의 넓이는 여러분 모두가 알듯이 (√3)×(한 변의 길이)²/4 입니다 (√3)×(한 변의 길이)²/4 입니다 다시 노란색을 쓰겠습니다 정삼각형의 넓이는 (√3)×(x/3)²/4가 됩니다 정삼각형의 넓이는 (√3)×(x/3)²/4가 됩니다 한 변의 길이가 x/3이기 때문입니다 이제 넓이가 얼마인지 압니다 (√3)×(한 변의 길이)²/4가 넓이입니다 (√3)×(한 변의 길이)²/4가 넓이입니다 정사각형의 넓이는 정사각형의 넓이는 (100-x)/4 입니다 이제 두 도형을 합친 넓이를 자른 조각 중 왼쪽 조각의 길이인 x에 대한 함수로 나타낼 수 있습니다 이제 이것을 최소화시켜야 합니다 Ac(x)를 최소화시켜야 합니다 다음 영상에서 이어서 하겠습니다