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표를 통해서 평균값 정리 조건 확인하기

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아래 표는 미분가능한 함수 f의 몇 가지 값입니다 아래 표는 미분가능한 함수 f의 몇 가지 값입니다 좋습니다 평균값 정리를 사용해 f'(c) = 5이고 4< c <6을 성립하는 c를 찾을 수 있을까요? 그렇다면 왜 그런지 설명해 보세요 평균값 정리를 사용하려면 개구간에서 미분가능해야 하고 폐구간에서 연속이어야 합니다 그런 것 같습니다 어떤 구간에서 미분가능하다면 무조건 연속이기 때문입니다 함수 f가 미분가능하다 했는데 아마 모든 구간에서 일 것입니다 그리고 다음 부분에선 만약 그 조건을 만족할 때 (4, f(4))와 (6, f(6)) 사이 할선의 기울기는 (4, f(4))와 (6, f(6)) 사이 할선의 기울기는 적어도 4와 6 사이 어떤 한 곳에선 미분이 할선의 기울기와 같아야 합니다 미분이 할선의 기울기와 같아야 합니다 (4, f(4))와 (6, f(6)) 사이 할선의 기울기를 찾아 봅시다 (4, f(4))와 (6, f(6)) 사이 할선의 기울기를 찾아 봅시다 (4, f(4))와 (6, f(6)) 사이 할선의 기울기를 찾아 봅시다 만약 이것이 5와 같다면 평균값 정리를 사용할 수 있고 5와 같지 않다면 평균값 정리는 적용되지 않습니다 그럼 해 봅시다 f(6) - f(4) / 6 - 4는 f(6) - f(4) / 6 - 4는 (7 - 3) /2이며 2와 같습니다 (7 - 3) /2이며 2와 같습니다 2는 5가 아니니까 평균값 정리는 적용되지 않습니다 평균값 정리는 적용되지 않습니다 평균값 정리는 적용되지 않습니다 다음 부분을 해 봅시다 평균값 정리를 사용해 f'(x) = -1의 해가 있는지 알 수 있을까요? f'(x) = -1의 해가 있는지 알 수 있을까요? 이제 구간이 0에서 2까지입니다 그렇다면 왜 그런지 설명해 보세요 좋습니다 할선의 기울기를 구하면 f(2) - f(0) / 2 - 0입니다 f(2) - f(0) / 2 - 0입니다 이는 (-2 - 0) / 2입니다 이는 (-2 - 0) / 2입니다 -2/2는 1이죠 -2/2는 1이죠 그리고 연속성과 미분가능성 조건을 만족한다는 것을 알고 있습니다 따라서 이렇게 말할 수 있습니다 f가 일반적으로 미분가능하므로 f가 일반적으로 미분가능하므로 f가 일반적으로 미분가능하므로 구간 0에서 2까지에서 미분가능하며 폐구간 0에서 2까지에서 미분가능하며 연속이고 연속이고 폐구간이라고 했는데 개구간에서 미분가능하기만 하면 되지만 폐구간에서 미분가능하면 폐구간에서 연속하기도 하기 때문에 그렇게 했습니다 폐구간에서 연속하기도 하기 때문에 그렇게 했습니다 f가 일반적으로 미분가능하기 때문에 0에서 2까지 연속하며 미분가능하고 따라서 평균값 정리에 따르면 따라서 평균값 정리에 따르면 구간 0에서 2 안에서 구간 0에서 2 안에서 구간 0에서 2 안에서 f'(x)가 할선의 기울기와 같은 x가 존재합니다 f'(x)가 할선의 기울기와 같은 x가 존재합니다 혹은 평균 변화량이 -1이라고도 할 수 있습니다 따라서 그렇다고 대답할 수 있고 그 이유는 이렇습니다 이것은 할선의 기울기 혹은 평균 변화율이며 f가 일반적으로 미분가능하기 때문에 폐구간에서 미분가능하고 연속합니다 폐구간에서 미분가능하고 연속합니다 따라서 평균값 정리에 따르면 이 구간 안에 f'(x) = -1인 x가 존재합니다 이 구간 안에 f'(x) = -1인 x가 존재합니다 다 했습니다