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방정식을 통해서 평균값 정리 조건 확인하기

동영상 대본

g(x)는 1/x과 같습니다 평균값 정리를 사용해서 g'(x) = 1/2이라는 식이 x가 -1보다 크고 2보다 작을 경우 해가 있다는 것을 증명할 수 있나요? 그렇다면 증명해보세요 영상을 멈추고 문제를 풀어보세요 평균값 정리를 사용하기 전에 생각해야 할 것은 닫힌 구간에서 함수가 연속이라는 것이고 열린 구간에서는 미분이 가능하다는 것입니다 따라서 이는 열린 구간입니다 그리고 닫힌 구간은 경계값을 포함하죠 하지만 이 두 구간 모두 x=0일 경우를 포함합니다 그리고 x=0이라면 함수는 무한합니다 함수가 무한하다면 연속 함수가 아니거나 해당 점에서 미분을 할 수 없죠 그렇습니다 연속하지 않거나 미분을 할 수 없죠 미분을 할 수 없죠 해당 구간에서요 해당 구간에서요 두 번째 부분을 풀어봅시다 평균값 정리를 사용해 g'(c) = -1/2를 만족하는 c가 1보다 크고 2보다 작은 구간에서의 c 값을 찾을 수 있나요? 그렇다면 증명해보세요 다시 영상을 멈추고 풀어보세요 이 경우에는 1과 2 사이의 열린 구간 그리고 닫힌 구간을 봅시다 이는 유리함수이며 유리함수는 정의역의 모든 점에서 미분 가능하여 정의역은 열린 구간과 닫힌 구간 모두를 포함합니다 혹은 다르게 말하면 이 열린 구간과 닫힌 구간의 모든 점은 정의역에 포함됩니다 따라서 g(x)는 유리함수입니다 유리함수입니다 이는 연속함수이고 정의역의 모든 점에서 미분 가능하다는 것을 알려주죠 정의역의 모든 점에서요 정의역의 모든 점에서요 닫힌 구간 1부터 2는 정의역에 포함됩니다 따라서 1부터 2까지의 평균 변화율을 구합시다 g(2) - g(1) g(2) - g(1)/ 2 -1은 g(2) - g(1)/ 2 -1은 1/2 - 1 / 1이며 이는 -1/2와 같습니다 따라서 따라서 평균값 정리에 의하면 평균값 정리에 의하면 1 < c < 2를 만족하는 c의 값이 존재합니다 그리고 g'(c)는 경계값의 평균 변화율과 같습니다 -1/2이죠 끝났습니다 정답은 맞습니다이며 증명이 여기 있네요