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평균값정리가 미적분 시간에나 볼 신비한 정리라고 생각할 수 있겠지만 여기서는 적어도 암묵적으로 실생활에서도 이 정리가 쓰인다는 것을 배워보겠습니다 바로 과속 딱지를 떼는 데에 말이죠 예시를 하나 생각해 볼까요? 여기 톨게이트가 하나 있다고 합시다 여러분들은 고속도로에 있고 여기 A지점에 톨게이트가 있습니다 정확히 1시에 통행료를 내면 고속도로의 컴퓨터가 이를 기록합니다 그리고 여러분들이 통행료를 내면 돈을 계좌 등에서 빼서 낸 사람이 누구인지 알 수 있는 그런 장비가 있다고 합시다 그래서 이 장비가 오후 1시 정각에 여러분이 도착한 것을 볼 것입니다 그 다음에 여러분들이 고속도로를 다 지나왔다고 해 보죠 정각 오후 2시에 지점 B에서 나왔다고 합시다 숫자가 계산하기 쉽겠죠? 이 둘의 거리가 80마일 떨어져 있다고 합시다 여기까지 가는 데 거리가 80마일이겠죠? 속도 제한이 이 고속도로에서는 55마일/h라고 해 봅시다 이때 과연 당국은 여러분들이 과속을 했다는 것을 증명할 수 있을까요? 이 상황을 그래프로 그려 봅시다 이게 어디로 가는지 알 수 있을 것 같네요 그러니까 그래프로 그려 봅시다 이 부분이 우리의 위치에 해당하고 여기를 위치라는 뜻으로 s축이라고 부르겠습니다 단위는 마일이겠죠? 사실 s라는 문자가 위치를 뜻하지는 않을 것 같지만 p는 밀도를 뜻하는 ρ와 비슷하고 d는 위치나 변위의 변화량을 나타낼 때 씁니다 그래서 s를 위치로 자주 사용한답니다 그래서 s를 우리의 위치라고 합시다 이 부분은 시간, 즉 t가 됩니다 단위는 시간이라고 합시다 문제의 시간 간격은 시간1 부터 시간2가 됩니다 사실 축을 실제 스케일로 그리고 있지는 않습니다 제가 완벽한 스케일로 그리고 있다고 생각하실지도 모르니까 여기 살짝 틈을 그리겠습니다 왜냐하면 이 시간 간격에만 관심을 두고 싶기 때문입니다 여기가 2시간에 해당합니다 t=1일때, 여러분은 여기 있습니다 위치, 즉 s는 s(1)이라고 둡시다 그리고 시간2에서는 여러분들이 이 위치에 가 있습니다 위치는 s(2) 입니다 여러분들의 좌표는 바로 여기입니다 이게 우리가 알고 있는 전부입니다 사실 다른 것도 조금 알고 있습니다 우리의 시간의 변화는 2-1이고 위치의 변화도 알고 있습니다. 우리 위치의 변화는 s(1)-s(2) 즉 80마일입니다 위치의 변화는 80마일입니다 이걸 적어 보죠 그리고 간단히 하기 위해 직선 고속도로라고 가정합시다 따라서 거리의 변화는 위치의 변화와 같고 이는 변위와 같습니다 이것이 80마일입니다 그리고 우리 시간의 변화는 얼마죠? 시간의 변화는 2빼기 1기 되겠죠 1시간이 되겠죠 우리는 이 두 점을 연결하는 선분의 기울기가 이 선분의 기울기가 80mi/h라고 할 수 있습니다 기울기는 80mi/h입니다 또는 저 시간동안의 평균 속력이 80mi/h이었다고도 할 수 있습니다 법원에서 당국이 할 수 있는 것은 제가 수학적 정리가 이렇게 인용된 적이 있다고 들어 본 적은 없지만 할 수도 있죠 제가 이에 대한걸 10년 전에 들은 기억이 납니다 큰 논쟁거리였죠 경찰이 이 시간동안 평균속력은 분명히 80mi/h이었고 따라서 저 시간동안 어떤 지점에서는 여기서 평균값 정리를 사용했 수도 있는데 어떤 지점에서는 정확히 80mi/h로 달렸을 것이다라고 하면 이는 틀렸다고 증명하기 아주 힘든데 왜냐하면 여러분의 시간에 대한 위치 함수는 이 시간동안 연속적이고 미분가능하기 때문입니다 어떤 지점에서 다른 곳으로 순간이동하지 않았으니까 연속적이죠 그런 차는 꽤 굉장하겠군요 또 이는 미분가능합니다 여러분들은 항상 잘 정의된 속 도를 가지고 있었습니다 그래서 저는 두 점을 이을 때 임의의 점의 순간속도 즉 접선의 기울기가 선분의 기울기와 다른 곡선을 그리려 하는 사람들에게 이의를 제기합니다 이런 곡선을 그리는 것은 불가능합니다 바로 평균값정리가 불가능하다고 말해 줍니다 상상해 봅시다 잠깐 멈춰서 고속도로의 통행료를 내고 살짝 가속합니다 그러면 제 순간속도는 평균속력보다 낮습니다 지금 가속하고 있습니다 하지만 저 시간에 저 지점에 도달하려면 특히 톨게이트에 거의 다 왔을 때 감속해야 되기 때문에 이 두개를 잇기 위해서는 어떤 점, 이 점에서 사실 80mi/h보다 빨리 달려야 합니다 그리고 평균값 정리가 말해 주는 것은 이 시간간격동안 연속적이고 미분가능하니까 닫힌 구간에서 연속적이고 열린 구간에서 미분가능하므로 이 간격동안 적어도 한 점 c가 존재해서 여러분들의 순간변화율 접선의 기울기가 이 할선의 기울기와 같다는 것입니다 그래서 이 점에서 1시 15분 정도 되어 보이는 이 시간이 c라고 한다면 평균값 정리는 어떤 점, 그러니까 이점이 존재해서 s'(c)가 평균속력 즉, 80mi/h와 같다고 말해줍니다 그리고 이 점이 하나만 있는 것 같지는 않습니다 여기있는 점도 c가 될 수 있을 것 같습니다