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평균값 정리 예제: 다항식

동영상 대본

x에 대한 함수 f가 있는데 f(x)는 x^2-6x+8로 정의됩니다 모든 x에 대하여 말입니다 그리고 우리가 하려는 것은 이 함수의 구간에서 순간변화율과 평균변화율이 같은 점 c를 보이는 것입니다 c를 보이는 것입니다 함수의 구간을 한 개 잡아봅시다 2에서 5사이의 구간이라고 합시다 이 함수는 분명히 이 닫힌 구간에 대하여 연속적이며 미분이 가능합니다 사실 이 구간뿐만아니라 모든 x에서 미분이 가능합니다 미분이 가능합니다 어쨌든 열린 구간에서 구간의 평균변화율과 어떤 지점c의 순간변화율이 같게 되는 지점 c를 찾을 수 있음을 보여줍시다 같게 되는 지점 c를 찾을 수 있음을 보여줍시다 구간의 평균변화율은 구간의 양끝 점을 이어서 생기는 선의 기울기와 같습니다 그러니 평균변화율은 f(5)-f(2)를 5-2로 나눠서 구할 수 있습니다 이제 이 영상을 멈추고 c지점이 어디에 있는지 찾아보기 바랍니다 그러기 위해서는 일단 이 값이 얼만지 계산을 해봐야죠 그 다음에 함수를 미분하여 나오는 순간 변화율과 같다고 하여 c를 구해야겠죠 자 봅시다 f(5)는 25 - 30 + 8과 같습니다 즉 3이죠 f(2)는 2의 제곱 빼기 12 더하기 8이니까 f(2)는 2의 제곱 빼기 12 더하기 8이니까 0 이군요 그러니 이 값은 3분의 3이 되어 1이 됩니다 즉 f'(c)도 1이 되어야 합니다 함수 f(x)를 미분하면 어떻게 될까요? 봅시다 f'(x)는 2x-6 이네요 이 식이 1과 같아지는 x값을 알아내야 합니다 x는 이 범위안에 있어야 합니다 x가 어떤 값을 가질까요? 그러니까 이 식이 1과 같아야 합니다 양변에 6을 더해줍시다 그러면 2x 와 7이 같음을 알 수 있습니다 따라서 x는 7/2 즉 3과 1/2입니다 이 값이 구간안에 있음은 명백합니다 방금 c와 7/2가 같음을 알아냈습니다 이제 이것들이 말이 되도록 그래프를 그려봅시다 y축을 그립니다 여기에 x축도 그립니다 제 1사분면과 제4사분면 안에 구간 내의 그래프가 그려질 것으로 보입니다 그래서 이것이 x축이고 x축에 눈금을 1, 2, 3, 4, 5 만들었습니다 우린 f(2)=0임을 알고 있으니 그리려는 그래프는 x축에서 (2,0)을 지나게 됩니다 이 식을 인수분해하면 ( x - 2 )( x - 4 )가 됩니다 그러니 (2,0)이 아닌 x축을 지나는 지점은 x가 4일때 즉 여기입니다 그래프의 꼭짓점은 중간인 x가 3일때 생길 것입니다 f(3)은 9 - 18 + 8 이니까 -1이 됩니다 그러니 (3, -1)을 지남을 알 수 있죠 이제 그래프를 그리기에 충분합니다 우린 x=5일때 f(5)=3임을 알고 있습니다 y축도 눈금1, 2, 3을 그려봅시다 여기 (5, 3)을 지납니다 구간 내의 그래프를 그려보면 이렇게 되겠죠 이것이 구간 내의 그래프입니다 우리는 c지점을 찾고 있습니다 지점의 순간 기울기와 이 양끝점을 이은 선의 기울기가 동일한 지점 말이죠 시각적으로 살펴본다면 제 그림이 딱 맞는것 같네요 두 선이 평행하게 말이죠 두 선의 기울기가 같아 보입니다 또 이 지점이 7/2로 보입니다 그러니 모든 것이 맞아 떨어집니다 따라서 c지점은 바로 여기 7/2인 지점입니다