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평균값 정리를 위한 미분 가능성 확인
구글 클래스룸평균값 정리를 사용하기 위해서는 미분 가능해야 합니다. 그 이유를 배우고 문제를 풀면서 평균값 정리를 사용할 수 있는 조건을 배워 봅시다.
평균값 정리(MVT)는 중간값 정리나(IVT) 최대최소 정리(EVT) 같은 존재정리입니다. 이 개념 이해하기의 목표는 평균값 정리를 이해하고 적용하는 법을 배우는 것입니다.
평균값 정리와 그 조건
평균값 정리는
그래프 상에서 이 정리에 따르면 두 종점 간의 호 사이에 호의 접선과 두 종점을 지나는 할선이 평행한 점이 있다고 할 수 있습니다.
평균값 정리가 적용되는 정확한 조건은
개구간과 폐구간을 이야기할 때
평균값 정리를 적용하기 위해서는 함수가 특정 구간에서 미분 가능하고 구간의 끝에서 연속되어야 합니다.
구간의 미분 가능 여부가 중요한 이유.
이 조건이 왜 중요한지 이해하기 위해 함수
그렇기 때문에 함수는 가능한 접선이 두 개 뿐이고 둘 다
종점의 연속성이 중요한 이유.
이를 이해하기 위해 함수
이제
당연하게도 구간 내 가능한 접선은 증가하지만 할선은 감소하고 있다는 점을 주의하세요. 따라서 할선과 평행한 접선이 존재하지 않습니다.
일반적으로 함수가 종점에서 연속적이지 않다면 할선은 그 구간 동안 접선과 연결되지 않습니다.
문제 1에서 다른 구간에서의 함수
연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어보세요.
주의할 점: 평균값 정리를 적용할 수 없다는 것은 정리가 참임을 확신할 수 없다는 것이지 정리가 참이 아니라는 뜻이 아닙니다.
다르게 말하면 평균값 정리가 적용되지 않더라도 접선이 할선과 같은 점이 있을 수도 있다는 뜻입니다. 단지 평균값 정리의 조건이 만족되지 않으면 확신할 수 없다는 뜻입니다.
예를 들어 이전 문제에서 구간
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흔한 실수: 조건이 언제 만족되는지 알아보지 않는 것
연습문제 3을 예로 들어 봅시다. 다음은 흔히 평균값 정리의 조건이 나타나는 방식입니다:
하지만 이런 방식으로 함수에 대한 정보가 주어지는 것은 아닙니다. 예를 들어 만약
또 다른 예는
흔한 실수: 틀린 존재정리의 적용
이제 세 개의 존재정리, 중간값 정리, 최대최소 정리, 평균값 정리에 익숙해졌을 것입니다. 이 셋은 비슷한 구조를 가지고 있지만 다른 조건을 가지며 다른 내용을 보장합니다.
- 중간값 정리는 함수가 두 값 사이에 특정 값을 가짐을 보장합니다.
- 최대최소 정리는 함수의 최댓값과 최솟값이 어디에 있는지를 보장합니다.
- 평균값 정리는 어떤 점의 도함수가 특정 값을 가짐을 보장합니다.
존재정리 중 하나를 적용하기 전에 어떤 정리를 사용해야 하는지 알 만큼 충분히 문제를 이해하세요.