주어진 함수의 감소 구간 구하기

f(x) = x⁶ - 3x⁵이라는 함수가 있다고 합시다 f(x) = x⁶ - 3x⁵이라는 함수가 있다고 합시다 f(x) = x⁶ - 3x⁵이라는 함수가 있다고 합시다 제가 드릴 질문은 여러분이 도함수에 대해 아는 사실만으로 이 함수가 어떤 구간에서 감소하는지 찾는 것입니다 동영상을 멈추고 풀어 보세요 좋습니다 이제 같이 해 봅시다 도함수가 음수일 때 함수는 감소하죠 도함수가 음수일 때 함수는 감소하죠 이렇게 말할 수도 있습니다 f'(x)가 0보다 작을 때 감소한다고요 f'(x)가 0보다 작을 때 감소한다고요 f'(x)가 0보다 작을 때 감소한다고요 f'(x)는 무엇일까요? 알고 있는 도함수의 성질과 규칙을 사용하면 됩니다 멱의 법칙을 x⁶에 적용하면 6을 앞으로 빼고 그러니까 여기 상수 1에 6을 곱해 6이 되고 x⁵이 됩니다 지수에서 1을 뺀 값이죠 여기에서 5 x 3은 15고 5에서 1을 빼어 5에서 1을 빼어 x⁵을 뺍니다 그리고 이것이 어떤 구간에서 0보다 작은지 구해야 합니다 이걸 간단히 해 보죠 두 항 모두 x⁴으로 나눌 수 있습니다 3으로도 나눌 수 있고요 그러니 3x⁴을 밖으로 빼냅니다 여기서 3x⁴를 인수로 삼으면 2x가 남습니다 그리고 여긴 -5가 되고 이것이 0보다 작아야 합니다 이것이 참인 모든 구간은 감소하는 구간입니다 이걸 어떻게 0보다 작게 만들까요? 이 둘의 곱이 0보다 작으려면 둘이 서로 다른 부호를 가져야 합니다 하나는 양수 하나는 음수 혹은 이것이 음수 이것이 양수여야 합니다 두 가지 경우네요 따라서 3x⁴이 0보다 크고 따라서 3x⁴이 0보다 크고 따라서 3x⁴이 0보다 크고 2x - 5가 0보다 작은 경우 2x - 5가 0보다 작은 경우 이런 경우 하나가 있고 다른 색으로 하겠습니다 다른 색으로 하겠습니다 3x⁴이 0보다 작고 2x - 5가 0보다 큰 경우가 있을 수 있습니다 두 번째 경우부터 하죠 x⁴이 0보다 작은 경우가 존재하나요? x⁴이 0보다 작은 경우가 존재하나요? 어느 수를 대입해도 네제곱하면 수가 음수였어도 양수가 됩니다 따라서 이것은 음수인 방정식이 될 수 없습니다 두 번째 경우는 불가능하다는 이야기입니다 어떤 경우의 x라도 3x⁴은 0보다 작을 수 없습니다 이건 제외할 수 있습니다 이것에 희망을 걸어야 하겠네요 어떤 조건에서 3x⁴이 0보다 클까요? 어떤 조건에서 3x⁴이 0보다 클까요? 양변을 3으로 나누면 x⁴이 0보다 크다고 할 수 있습니다 생각해보면 이건 0이 아는 모든 x에 대해 참입니다 이건 0이 아는 모든 x에 대해 참입니다 여기 음수를 넣더라도 -1이라고 해 보면 네제곱하여 +1이 됩니다 오직 0만이 네제곱해도 0입니다 오직 0만이 네제곱해도 0입니다 0이 아닌 모든 x에 대해 참이라 할 수 있습니다 0이 아닌 모든 x에 대해 참이라 할 수 있습니다 0이 아닌 모든 x에 대해 참이라 할 수 있습니다 이건 좀 더 간단합니다 양변에 5를 더하면 2x < 5가 됩니다 양변을 2로 나누면 x < 5/2입니다 이렇게 말해 볼 수 있습니다 x가 5/2보다 작은 모든 구간이 답이라구요 x가 5/2보다 작은 모든 구간이 답이라구요 하지만 x는 0이 될 수 없습니다 그러면 이것이 함수가 감소하는 전체 구간일까요? 0에서는 어떻게 되는지 보죠 음의 무한대부터 0 바로 전까지 감소하는 구간이고 0부터 5/2까지 감소하는 구간입니다 0의 바로 왼쪽까지 감소하고 0의 바로 오른쪽까지 감소하면 0에서도 감소하는 것입니다 0에서도 감소하는 것입니다 흥미롭네요 x가 0일 때 도함수가 0인데도 x가 0일 때 도함수가 0인데도 계속 감소합니다 따라서 구하고자 했던 함수가 감소하는 구간은 x < 5/2입니다 함수의 그래프를 그려 보면 저는 Desmos에서 그렸는데요 여기를 보면 함수가 음의 무한대부터 감소하다가 점점 느린 변화율로 감소하고 0에 다다르면 0의 왼쪽에서 감소하며 0의 오른쪽에서도 계속해 감소합니다 따라서 0의 왼쪽의 모든 x값에서 함숫값이 f(0)보다 크고 함숫값이 f(0)보다 크고 0의 오른쪽에 있는 x값들은 함숫값이 0에서의 함숫값보다 작습니다 그러므로 0을 지나며 감소하죠 0에서의 접선의 기울기가 0이라도요 음수는 아니지만 계속해서 감소하므로 5/2보다 작은 모든 x값에서 감소합니다 5/2보다 작은 모든 x값에서 감소합니다 여기서 볼 수 있듯이요