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주어진 도함수의 증가 구간 구하기

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함수 g가 실수 범위에서 정의되어 있다고 해봅시다 g', 즉 g을 미분한 것인 g'(x)는 x² ÷ (x - 2)³이 됩니다 어떤 구간에서 g가 증가할까요 아마 알 수 없다고 생각할 것입니다 어떻게 어느 구간에서 g가 증가하는지 알 수 있을까요 g'만 알고 있어도 됩니다 우리가 알고 있는 g가 증가하는 구간은 그 함수의 도함수가 0보다 큰 구간과 같습니다 함수의 x에 대한 변화율이 0보다 크다면, 즉 양수라면 그 함수는 증가할 것입니다 이런 접근 방식은 두가지로 나뉩니다 그냥 함수 자체를 조사하고 함수가 언제 0보다 커지는지 생각해보거거나 조금 더 방법론적으로 접근해 볼 수 있습니다 임계점에 g(x)를 살펴봅시다 임계점 g(x)를 임계점에서 다시 생각해보면 언제 g' = 0이 되는지 혹은 g'(x)가 정의되지 않는지 정의되지 않는지 임계점을 살펴봐야 합니다 왜 이러한 부분이 연관이 있는지 어느 구간에서 부호가 바뀌는지 g'의 부호가 바뀌는 구간에 대해 언제 g'(x)가 0과 같아집니까 g'(x)가 0과 같아지기 위해서는 분자를 0으로 만들어줘야 합니다 그렇게 되기 위한 x의 값은 x의 제곱수나 x가 0이 될 때 일어납니다 그 지점에서 g'(x)는 0과 같아집니다 어디에서 g'(x)가 정의되지 않습니까 함수가 정의되지 않을 때는 분모가 정의되지 않을 때입니다 분모가 정의되지 않으면, 즉 분모가 0이 되면 그러한 일이 일어납니다 x - 2 = 0으로 두면 x=2가 됩니다 여기에는 두 가지 임계점이 있습니다 그래프를 그려봅시다 이것을 수직선에 나타내봅시다 그리고 g'이 어떻게 되는지 생각해봅시다 임계점 사이에서 수직선에 0, 1, 2, 3을 표현하고 -1도 표현합니다 임계점을 살펴봅시다 보라색으로 표시해보면 x = 0에서 임계점을 갖습니다 그리고 x가 x = 2일 때 임계점을 갖습니다 g'이 어떻게 되는지 생각해봅시다 임계점들 사이에서 또는 한 쪽 면에서만 생각해봅시다 먼저 구간에 대해서 생각해봅시다 제가 보라색으로 표현해보겠습니다 구간 사이에 대해 생각해봅시다 음수와 0 사이의 구간에 대해 생각해보면 음수와 0을 구간으로 설정하고 g'을 살펴보면 분자는 계속 양수일 것입니다 음수를 제곱시키면 양수가 되기 때문입니다 양수가 되면 이제 분모가 어떻게 되겠습니까 -2를 빼내도 그것은 여전히 음수일 것입니다 다음으로 그것을 세제곱해야 합니다 음수를 세제곱하면 음수가 될 것입니다 즉 분모는 음수가 될 것입니다 양수를 음수로 나누는 것이므로 g'은 음수가 될 것입니다 이것을 써보겠습니다 즉 이 구간에서 이렇게 쓰도록 하겠습니다 g'(x)는 0보다 작을 것 입니다 만약 우리가 이것이 언제 감소하는지 알고 싶다면 이 구간 넘어에서는 확실히 감소한다는 것을 알 수 있을 것입니다 이제 0과 2 사이의 구간을 살펴봅시다 즉 구간 0부터 2에서 g'(x)는 어디로 갈까요 다시 한번, x²은 0보다 클 수 없습니다 즉 이 구간은 0을 포함하지 않습니다 이것은 확실히 양수가 될 것입니다 x - 2가 있다고 가정하면 0 < x < 2인 구간에서 예를 들어 x가 1이면 1 - 2 = -1이므로 그것은 음수가 될 것입니다 분모가 음수이기 때문에 분모에서 분모는 여전히 음수이기 때문에 세제곱을 하면 음수가 될 것입니다 분모는 음수가 될 것입니다 즉 g'이 0보다 작으므로 이렇게 쓸 수 있습니다 g'(x)는 0보다 작습니다 이제 마지막 구간을 살펴봅시다 x>2인 구간을 보면 2에서 양의 무한대에서 분자는 언제나 양수입니다 어떤 x도 0이 될 수 없습니다 그리고 분모는 2보다 큰 구간에서 2를 빼내도 계속 양수일 것입니다 그것을 세제곱을 해도 양수가 될 것입니다 양수가 될 것입니다 즉 이 구간에서 g'(x)는 0보다 큽니다 그렇다면 어떤 구간에서 g가 증가하겠습니까 그것은 g'(x)가 0보다 큰 구간과 같습니다 즉 g'(x)는 2에서 2에서 양의 무한대까지 즉 x > 2에서 증가합니다 이러한 방법으로 어떤 구간이든지 g'(x)가 0보다 큰 구간에 해당하므로 이 구간들에서 함수 g가 증가합니다 커넥트 번역 봉사단 | 박시현