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주요 내용

음함수 곡선의 수평접선

x와y에 관한 식으로 나타낸 음함수 곡선의 수평접선의 방정식을 구해 봅시다.

동영상 대본

주어진 방정식의 곡선이 있다고 합시다 주어진 방정식의 곡선이 있다고 합시다 방정식이 여기 있습니다 x에 대한 y의 도함수는 이 식과 같습니다 음함수 미분법을 사용하여 x에 대한 y의 도함수를 풀 수 있습니다 다른 강의에서 다루었죠 x축 위에 있고 곡선에 접하는 수평선의 방정식을 구하세요 강의를 멈추고 스스로 해보세요 이 상황을 시각화해 봅시다 빠르지만 지저분한 그래프를 그려볼게요 여기 y축과 x축이 있습니다 곡선이 어떻게 생겼는지 정확히는 모르지만 이런 모습의 곡선을 상상해 봅시다 이런 모습의 곡선을 상상해 봅시다 여기서 수평하는 접선은 두 개입니다 하나는 이 직선입니다 하나는 이 직선입니다 다른 하나는 이 직선입니다 x축 위에 있고 곡선에 접하는 수평선의 방정식을 구해야 합니다 무엇을 알고 있나요? 이 접선이 수평이라면 무엇이 성립하나요? 이 점에서의 dy/dx는 0이라는 것입니다 사실 이 두 점에서 모두 성립합니다 dy/dx의 식을 알고 있습니다 x에 대한 y의 도함수는 -2(x + 3) / 4y³입니다 -2(x + 3) / 4y³입니다 이 식이 언제 0이 되나요? 분모가 아닌 분자가 0일 때 0이 됩니다 분자가 0인 경우는 언제일까요? x = -3일 때죠 따라서 x = -3일 때 도함수는 0이 됩니다 그렇다면 x = -3일 때 이에 대응하는 y의 값은 무엇일까요? 그 값을 안다면 이 방정식은 y = ?가 되겠죠 바로 그 y값입니다 이 값을 구하기 위해서 x = -3을 기존의 방정식에 대입하여 y를 구합니다 해봅시다 (-3)² + y⁴ + 6(-3) = 7 (-3)² + y⁴ + 6(-3) = 7 (-3)² + y⁴ + 6(-3) = 7 (-3)² = 9이고 6(-3) = -18이므로 y⁴ - 9 = 7입니다 y⁴ - 9 = 7입니다 양변에 9를 더하면 y⁴ = 16이 됩니다 따라서 y = ±2입니다 따라서 y = ±2입니다 수평선 두 개가 나오겠네요 하나는 y = 2이고 다른 하나는 y = -2입니다 하지만 문제에서 x축 위에 있고 곡선에 접하는 수평선의 방정식을 요구하고 있으므로 이 직선만이 x축 위에 있습니다 이상입니다 정답은 y = 2입니다