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음함수 곡선의 수평접선

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주어진 방정식의 곡선이 있다고 합시다 주어진 방정식의 곡선이 있다고 합시다 방정식이 여기 있습니다 x에 대한 y의 도함수는 이 식과 같습니다 음함수 미분법을 사용하여 x에 대한 y의 도함수를 풀 수 있습니다 다른 강의에서 다루었죠 x축 위에 있고 곡선에 접하는 수평선의 방정식을 구하세요 강의를 멈추고 스스로 해보세요 이 상황을 시각화해 봅시다 빠르지만 지저분한 그래프를 그려볼게요 여기 y축과 x축이 있습니다 곡선이 어떻게 생겼는지 정확히는 모르지만 이런 모습의 곡선을 상상해 봅시다 이런 모습의 곡선을 상상해 봅시다 여기서 수평하는 접선은 두 개입니다 하나는 이 직선입니다 하나는 이 직선입니다 다른 하나는 이 직선입니다 x축 위에 있고 곡선에 접하는 수평선의 방정식을 구해야 합니다 무엇을 알고 있나요? 이 접선이 수평이라면 무엇이 성립하나요? 이 점에서의 dy/dx는 0이라는 것입니다 사실 이 두 점에서 모두 성립합니다 dy/dx의 식을 알고 있습니다 x에 대한 y의 도함수는 -2(x + 3) / 4y³입니다 -2(x + 3) / 4y³입니다 이 식이 언제 0이 되나요? 분모가 아닌 분자가 0일 때 0이 됩니다 분자가 0인 경우는 언제일까요? x = -3일 때죠 따라서 x = -3일 때 도함수는 0이 됩니다 그렇다면 x = -3일 때 이에 대응하는 y의 값은 무엇일까요? 그 값을 안다면 이 방정식은 y = ?가 되겠죠 바로 그 y값입니다 이 값을 구하기 위해서 x = -3을 기존의 방정식에 대입하여 y를 구합니다 해봅시다 (-3)² + y⁴ + 6(-3) = 7 (-3)² + y⁴ + 6(-3) = 7 (-3)² + y⁴ + 6(-3) = 7 (-3)² = 9이고 6(-3) = -18이므로 y⁴ - 9 = 7입니다 y⁴ - 9 = 7입니다 양변에 9를 더하면 y⁴ = 16이 됩니다 따라서 y = ±2입니다 따라서 y = ±2입니다 수평선 두 개가 나오겠네요 하나는 y = 2이고 다른 하나는 y = -2입니다 하지만 문제에서 x축 위에 있고 곡선에 접하는 수평선의 방정식을 요구하고 있으므로 이 직선만이 x축 위에 있습니다 이상입니다 정답은 y = 2입니다