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주요 내용

최대최소 정리

최대 최소 정리는 닫힌 구간 [a,b]에 대해 연속한 함수는 반드시 구간 내에 최댓값과 최솟값을 갖는다는 정리입니다. 연속 함수이므로 연필을 떼지않고 그래프를 그릴 수 있으며, 따라서 반드시 이 구간 내에 최고점과 최저점을 갖습니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

극한값의 정리를 이야기해 보면 꽤 당연한 것처럼 보일 수 있습니다 그러나 이런 정리들에서 특이한 경우를 생각하는 것은 언제나 즐겁습니다 이 방법은 왜 사용되는 것일까요? 아마도 우리에게 조금 더 강한 직관을 주기 때문이죠 그래서 극한값의 정리는 a와 b 사이 닫힌 구간에서 연속인 함수를 보면 양 끝을 포함하는 구간을 뜻하는 닫힌 구간은 괄호 대신 대괄호를 사용합니다 그러면 명백한 함수의 최댓값과 최솟값이 존재합니다 이것은 곧 '존재한다'라는 뜻을 가진 수학적 기호 'exist' 를 사용하면 구간 내에 명백한 함수의 최댓값과 명백한 함수의 최솟값이 존재합니다 잠시 생각해 보면 꽤 직관적일 수 있습니다 아마도 왜 이론을 붙여야 했으며 왜 연속인 함수가 필요한지 그리고 왜 연속성이 중요한지 말하고 계실 수 있습니다 x축과 y축을 잡고 a와 b 사이의 닫힌 구간을 그립시다 그럼 여기를 각각 a와 b로 합시다 이곳을 f(a)로 잡고 이곳을 f(b)로 잡읍시다 그리고 함수가 이렇게 움직인다고 합시다 이 구간 내에서는 이렇게 움직이고 있습니다 저는 그저 임의로 함수를 그린 것입니다 연속인 함수를 그렸습니다 딱히 이렇게 함수를 그리기 위해서 펜이 필요하지는 않았습니다 그리고 이 방법으론 제가 그린 연속인 함수에 확실한 최댓값과 최솟값이 이 구간 내에 존재한다는 것은 명백합니다 확실한 최솟값은 여기쯤 있는 것처럼 보이고 그 점의 x좌표를 c라고 합시다 f(c)는 여기쯤 있습니다 그리고 확실한 최댓값도 구간의 여기 쯤에 존재하는 것처럼 보이고 그 때의 x좌표는 d라고 합시다 f(d)는 여기쯤에 있습니다 이런 상태를 다시 말하자면 만약 함수 f가 구간 내에서 연속이라면 간격 내 c, d가 존재한다고 할 수 있습니다 그들은 집합의 원소로 간격 사이의 숫자들의 집합의 원소입니다 여기서는 수학적 기호가 사용되었습니다 f(c)가 f(x)보다 작거나 같고 f(x)는 f(d)보다 작거나 같습니다 구간 내의 모든 x에 대해서 성립합니다 이 경우에서 최솟값에 도달하는 경우는 x가 c일 때입니다 바로 이 점입니다 최댓값은 x가 d일 때 도달합니다 구간 내의 다른 모든 x에 대해서 f(x)는 두 값 사이에 존재합니다 다른 연속 함수를 그릴 수도 있습니다 다시 극한값의 정리와 왜 이 식이 이 상태를 뜻하는지 증명하지는 않을 것입니다 그리고 구간 내에서 연속인 함수를 다양하게 그릴 수 있습니다 b에 도달했을 때 최댓값을 가지고 a에서 최솟값을 가지는 함수가 있습니다 평평한 함수에선 어느 점이나 최댓값 또는 최솟값으로 잡을 수 있습니다 그리고 이 식은 어느 상황에서나 참입니다 조금 더 깊이 생각해봅시다 왜 함수 f가 연속이어야 하고 왜 닫힌 구간이어야만 하는지 생각해 봅시다 먼저 왜 함수 f가 연속이어야 할까요? 쉽게 닫힌 구간 내에서 연속이 아닌 함수를 그릴 수 있습니다 최댓값과 최솟값을 명확히 할 수 없는 함수를 그릴 수 있습니다 잠시 이 영상을 멈추고 그런 함수를 직접 그려보십시오 닫힌 구간 내에서 연속적이지 않은 함수 그리기를 시도해 보십시오 또는 구간 내에서 확실한 최솟값이나 최댓값을 결정할 수 없는 함수를 그려보십시오 여기에 그래프를 그려보면 여기가 닫힌 구간이라고 합시다 여기를 a, b라고 하고 함수가 이렇게 움직인다고 가정합시다 이 함수는 우리가 최댓값을 가질 것이라고 예상하는 곳에서 정의되지 않는다고 합시다 그리고 또한 우리가 최솟값을 가질 것이라고 예상하는 곳에서 정의되지 않는다고 합시다 그럼 여기서는 함수는 명백히 다가가고 있습니다 x값이 여기로 수렴하면서 함수는 이 극한으로 수렴합니다 그러나 이 극한값은 최댓값이 될 수 없습니다 함수가 그 값에 절대 도달하지 않기 때문입니다 조금 더 자세히 보면 여기의 값은 5라고 하면 아마도 최댓값은 4.9가 될 수 있습니다 x를 그 값에 더욱 가까이 하면 y는 4.99, 4.999가 되고 y 뒤에 9를 계속해서 덧붙일 수 있습니다 그래서 최댓값은 없는 것이죠 비슷하게, 최솟값에서 최솟값을 좀더 최솟값답게 합시다 우리는 그 값에 계속 가까워질 순 있지만 최솟값은 없습니다 여기 값을 1이라고 합시다 그럼 우리는 1.1, 1.01, 1.001처럼 0을 계속해서 끼워넣을 수 있습니다 그러나 확실한 최솟값은 없는 것이죠 이제 극한값의 정리에서 닫힌 구간이 왜 필요한지 생각해봅시다 왜 최소, 최댓값의 후보로 양 끝 점을 포함시켜야 하는 걸까요? 열린 구간이라고 상상해봅시다 열린 구간을 생각합시다 조금 더 상세하게 하려면 닫힌 구간의 양 끝점에 대괄호를 그려줄 수 있습니다 여기에 열린 구간을 잡으면 여기 a와 b가 있습니다 그리고 매우 간단한 함수를 잡읍시다 함수가 이렇게 생겼다고 합시다 만약 a가 범위 내라면 최솟값은 a에서 f(a)처럼 보입니다 최솟값은 f(a)이고 f(b)는 최댓값처럼 보입니다 그러나 a와 b를 범위에 포함하지 않습니다 열린 구간이기 때문이죠 그래서 b가 계속해서 가까워지면 f(b)는 계속해서 더 큰 값을 가질 수 있습니다 결코 그 값이 될 수는 없지만요 왜냐하면 b점을 포함하지 않기 때문입니다 비슷하게, 계속해서 a점에 가까워지면 f(a)는 계속해서 작은 값을 가집니다 그러나 a는 구간에 포함되지 않기 때문에 f(a)는 최솟값이 될 수 없습니다 이것은 꽤 직관적이고 거의 명백한 정리입니다 반면에, 이것은 알아두면 좋습니다 왜 함수가 연속이어야 하고 왜 이것처럼 닫힌 구간을 가져야 하는지 말이죠.