도함수를 사용하여 정당화하기

미분가능한 함수 f와 그의 도함수 f'(x)의 그래프를 그렸습니다 한번 봅시다 y = f(x)의 그래프는 파란색이네요 f'(x)는 주황색이고요 여기에 말이죠 x가 3보다 클 경우 f가 감소하는 것에 대한 올바른 미적분학적 증명이 무엇인가요? 그래프를 보면 결과가 그렇죠 x가 3보다 클 경우 함수의 값이 감소합니다 x가 증가하면 y값이 함수의 값이 감소합니다 미적분학적 증명에 따르면 보기를 보지 않아도 도함수를 보면 되겠죠 그리고 접선의 기울기가 음수이면 감소한다는 뜻이겠죠 이는 도함수가 음수라는 의미입니다 x가 3보다 클 경우 도함수는 0보다 작습니다 따라서 제 정의는 아직 보기를 보지도 않았죠 x가 3보다 클 경우 f'(x)는 0보다 작습니다 이게 제 정답입니다 보기를 보지도 않았습니다 이제 보기를 살펴봅시다 f'은 x가 3보다 작을 경우 값이 줄어듭니다 이는 참이 아니죠 저희가 관심이 있는건 f'이 양수인지 음수인지이죠 f'이 0보다 작으면 음수입니다 그러면 함수의 값이 줄어들겠죠 접선의 기울기가 음수입니다 f'이 양수여도 줄어들 수 있죠 예를 들어 f'이 다음과 같을 수 있습니다 f'이 줄어들더라도 이 경우에는 도함수의 실제값이 양수입니다 이는 함수의 값이 늘어난다는 것이죠 따라서 이 보기는 틀렸습니다 x가 3보다 클 경우 x가 커짐에 따라 f(x)의 값이 감소합니다 이는 참입니다 이는 f의 값이 줄어드는 것에 대한 정의입니다 x의 값이 증가하면 f(x)의 값이 감소합니다 하지만 이는 미적분학적 증명이 아닙니다 이 보기도 지웁시다 x가 3보다 클 경우 f'은 음수입니다 이는 제가 여기 적은 증명과 같죠 f'이 음수라면 이는 원래 함수 f의 접선의 기울기가 원래 함수 f의 접선의 기울기가 아래를 향할 것입니다 혹은 함수의 값이 감소합니다 이 보기는 맞는 것 같습니다 여기 이 보기는 f'(0)은 -3과 같다고 합니다 이 점을 말하는 것이죠 하지만 저희가 관심이 있는 구간과 상관이 없습니다 혹은 이는 x가 3보다 클 경우와 상관이 없습니다 이 보기도 지우겠습니다 문제를 하나 더 풀어봅시다 이 문제에선 미분가능한 함수 g와 g'의 그래프가 주어졌습니다 g는 파란색으로 그렸고 g'은 주황색으로 그렸습니다 x가 -3일 경우 g가 극솟값을 갖는다는 올바른 미적분학적 정의를 고르세요 올바른 미적분학적 정의를 고르세요 여기서 x가 -3일 경우 g의 값은 -6입니다 그리고 극솟값처럼 보이네요 가장 좋은 정의는 무엇인가요? 보기를 보기 전에 좋은 정의는 x = -3인 경우를 보기 전에 x = -3인 경우를 보기 전에 도함수는, 이는 미적분학적 정의입니다 x = -3인 경우를 보기 전에 도함수는 음수입니다 그리고 x = -3일 경우 도함수는 양수입니다 이게 제 정의입니다 도함수가 이 값 전에 음수라면 이 값 전에는 기울기가 아래로 향합니다 이 값 다음은 양수입니다 그리고 이 다음 기울기가 위를 향합니다 이는 여기에 극솟값을 가진다는 좋은 정의입니다 x = -3인 점은 주변 구간 중에서 최저점이다 이는 참입니다 하지만 이는 미적분학적 증명이 아닙니다 이 증명을 위해선 도함수를 구하지 않습니다 이 보기는 지웁시다 g'의 극솟값은 (0,3)에 위치합니다 (0,3)에 실제로 위치하지 않습니다 오 g'이군요 g'은 극댓값을 (0,3)에서 가지지만 하지만 이는 극솟값에 대해서 아무것도 말해주지 않습니다 x = -3일 경우에 말이죠 이 보기를 지우겠습니다 g'(-3) = 0 g'(-3) = 0은 이는 함수의 접선의 기울기가 여기서 0이 된다는 뜻입니다 하지만 이는 극솟값임을 증명하기에 충분하지 않습니다 예를 들어 이와 같이 접선의 기울기가 0인 이 점에 있을 수 있습니다 그리고 계속 증가하죠 혹은 이와 같이 계속 감소할 수 있습니다 따라서 이와 같은 점에 위치하더라도 접선의 기울기가 0인 경우죠 극솟값이라고 장담할 수 없습니다 이 보기도 지웁니다 g'은 x = -3일 경우 x축을 아래서 위로 가로지릅니다 g'은 x축을 아래서 위로 가로지릅니다 이 정의가 제가 처음에 만든 정의죠 x축의 아래서부터요 g'은 음수에서 양수로 갑니다 x = -3에 접근할 경우 해당 점에서의 접선의 기울기가 아래로 향하는 것에서 위로 향하게 바뀌죠 이는 극솟값이 있다는 증거입니다