이계도함수를 사용해서 변곡점 정당화하기

두 번 미분할 수 있는 함수 g와 이계도함수 g''의 그래프를 그렸습니다 여기에 보이죠 이계도함수를 이용해 정의하기라는 칸아카데미의 글을 통해 설명을 드리는 것입니다 여기 함수 g를 봅시다 이는 일계도함수가 아니라 이계도함수입니다 갈색으로 표시했죠 해당 글에서는 해당 글에서는 네 명의 학생이 함수 g가 x = -2에서 변곡점을 가지는 미적분학적 증명을 하라고 합니다 이는 직감적으로 맞다고 생각이 됩니다 x = -2일 경우 변곡점이 무엇인지 복습해봅시다 이는 오목성이 아래에서 위로 변하는 점입니다 혹은 위에서 아래로 변하죠 다른 말로 설명하면 기울기가 감소에서 증가로 혹은 증가에서 감소로 변하는 점입니다 여기서 이를 확인하면 기울기가 줄어들며 양수입니다 하지만 줄어들며 0에 도달합니다 계속 줄어들며 음수가 됩니다 x = -2에 도달할 때까지 감소합니다 그 다음 다시 증가합니다 그다음 음수가 될 때까지 계속 감소합니다 여기 0에 도달한 뒤 계속 증가합니다 계속 증가하며 양수에 도달합니다 결국 x = -2일 경우 오목성이 위에서 아래로 바뀝니다 미적분학적 정의에 따르면 이계도함수에선 이계도함수가 x축을 가로지르는 부분을 봐야합니다 왜냐하면 이계도함수가 음수이면 기울기가 감소합니다 오목성이 아래쪽이죠 이계도함수가 양수라면 일계도함수가 증가하는 것이고 원래 함수의 기울기가 증가하며 오목성이 위를 향합니다 따라서 x = -2에 이계도함수가 x축을 가로지르게 됩니다 0에 도달하거나 x축에 닿는 것이 다가 아닙니다 임계점을 찾으려면 x축을 가로지르는 점을 찾아야 합니다 다음이 주어진 경우의 학생들의 정의를 보고 선생님이 된 기분으로 각 정의에 따라 선생님이 정의에 대해 뭐라고 할지 생각해 봅시다 첫 번째 학생은 g의 도함수는 x = -2에서 부호를 바꾼다고 합니다 방금 저희가 말한 내용이죠 이계도함수가 부호를 바꾼다면 음수에서 양수로 바뀌며 일계도함수는 감소에서 증가로 바뀝니다 그리고 이는 미적분학적 정의에 해당합니다 따라서 지금까지는 맞게 풀었다는 이 보기를 첫 번째 학생에게 주겠습니다 x축을 가로지릅니다 이 증명은 애매하네요 어떤 것이 x축을 가로지르나요? 만약 학생이 이와 같은 증명을 적었다면 어떤 것인지 일계도함수인지 이계도함수인지 물을 것입니다 따라서 더 명확히 표현하라고 할 것입니다 이 정의는 올바르지 않습니다 다른 보기를 봅시다 이계도함수 g는 x = -2일 경우 증가합니다 이 증명은 임계점이 왜 여기에 있는지 증명하지 않습니다 예를 들어 이계도함수는 x = -2.5일 경우 증가합니다 이계도함수는 x = -1일 경우도 증가합니다 하지만 이 부분에서 임계점을 가지지 않습니다 따라서 이는 g가 왜 임계점을 가지는지 설명하지 않습니다 마지막 학생은 g의 그래프의 오목성이 x = -2일 경우 바뀐다고 합니다 이는 참입니다 하지만 미적분학적 증명이 아니죠 여기선 이계도함수를 사용해야 합니다