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주요 내용

그래프를 통해서 f, f', f'' 알아보기 (다른 예제)

세 그래프를 보고 어떤 그래프가 다른 그래프의 도함수인지 구해 봅시다.

동영상 대본

여기 세 함수의 그래프가 있습니다 하나는 함수 F이고 하나는 1차 도함수 다른 하나는 2차 도함수입니다 어느 것이 무엇인지 모릅니다 이번에도 강의를 멈추고 스스로 해결할 수 있는지 확인해 보세요 좋습니다 이를 해결하는 방법은 각 그래프에 대한 도함수가 무엇일지 추측해보는 것입니다 따라서, 첫 번째 그림에서 도함수를 확인할 수 있습니다 여기 접선의 기울기는 아주 작은 음수값이고 갈수록 그 절대값이 커집니다 이 수직 점근선에 도달하면 음의 무한대가 되는 것처럼 보입니다 따라서 여기서의 도함수는 0보다 살짝 작지만 갈수록 그 절대값이 커져서 음의 무한대에 도달할 것입니다 따라서 이 그래프 자체와 비슷한 모양이 됩니다 적어도 이 수직 점근선만큼은 말이죠 적어도 좌측의 이 수직 점근선만큼은 말이죠 그렇다면 우측의 수직 점근선은 어떤가요? 수직 점근선에서 접선의 기울기는 절대값이 아주 큰 음수입니다 하지만 갈수록 작아지면서 0으로 도달하는 것처럼 보이게 됩니다 따라서 도함수는 절대값이 아주 큰 음수에서 시작하여 0으로 도달하는 점근선이 그려집니다 이렇게 말이죠 따라서, 그린 그래프를 바탕으로 이 왼쪽 그래프의 도함수로 오른쪽 그래프가 적절해 보이네요 파란색 그래프는 그럼 뭐죠? 주목할 부분은 양수라는 것입니다 따라서, 만약 이 그래프가 왼쪽 그래프의 도함수라면 왼쪽 그래프에 기울기가 양수인 부분이 있어야 합니다 하지만 양수인 부분은 없습니다 기울기는 아주 작은 음수에서 엄청 큰 음수가 됩니다 작은 음수에서 큰 음수가 되는거죠 이 함수를 f라고 합시다 이 함수를 f라고 합시다 그러면 이 함수는 f'입니다 그러면 이 함수는 f'입니다 이제 가운데 그래프를 봅시다 도함수는 어떤가요? 기울기는 아주 작은 음수였다가 그 절대값이 더욱 커집니다 그 절대값이 더욱 커집니다 따라서 도함수는 아주 작았다가 수직 점근선에 도달할 때까지 갈수록 절대값이 커지는 음수가 됩니다 수직 점근선의 우측은 도함수가 아주 큰 양수였다가 갈수록 작아지는 양수가 됩니다 갈수록 작아지는 양수가 됩니다 따라서 도함수는 아주 큰 양수에서 갈수록 작아지는 양수가 됩니다 갈수록 작아지는 양수가 됩니다 그래프는 0으로 가는 점근선을 형성하므로 그래프는 이런 모양이 될 것입니다 왼쪽 그래프가 가운데에 있는 이 파란색 그래프의 도함수와 상당히 유사합니다 따라서 이 그래프가 f이고 이 그래프는 f'이며 오른쪽 그래프는 왼쪽 그래프의 도함수이므로 오른쪽 그래프는 왼쪽 그래프의 도함수이므로 f'의 도함수는 f'이 아니라 f'' 입니다 맞는 것 같네요 확실히 하기 위해서 이 그래프의 도함수를 알아봅시다 여기 기울기는 매우 작지만 갈수록 절대값이 커지므로 도함수는 그 자체와 비슷할 것입니다 여기서는 도함수가 매우 큰 양수이고 갈수록 작아집니다 갈수록 작아집니다 아주 큰 양수에서 시작하여 갈수록 작아지는 양수가 됩니다 일반적인 형태가 왼쪽 그래프와 비슷합니다 일반적인 형태가 왼쪽 그래프와 비슷합니다 하지만 오른쪽 그래프의 도함수가 왼쪽 그래프라고 하지 않는 이유는 이 오른쪽 그래프가 왼쪽 그래프의 유일한 도함수이기 때문입니다 알맞게 고른 것 같습니다 중간 그래프가 f이고 왼쪽 그래프가 f'이며 오른쪽 그래프가 f'' 입니다