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주요 내용

그래프를 통해서 f, f', f'' 알아보기

세 그래프를 보고 어떤 그래프가 다른 그래프의 도함수인지 구해 봅시다.

동영상 대본

함수 세 개의 그래프가 있으며 이중 하나는 f의 그래프 다른 하나는 f의 일계도함수의 그래프 그리고 또 다른 하나는 f의 이계도함수의 그래프입니다 함수들을 연결하는 문제네요 어떤 그래프가 f 일계도함수 그리고 이계도함수를 나타내나요? 항상 그랬듯이 영상을 멈추고 혼자서 문제를 해결할 수 있는지 풀어보세요 이제 함께 풀어봅시다 여기서 사용할 방법은 각 그래프의 도함수의 그래프를 그려보는 것입니다 도함수의 그래프를 그려보는 것입니다 첫 번째 그래프는 주황색입니다 여기서 기울기가 양수인것을 볼 수 있습니다 하지만 점점 기울기가 줄면서 기울기가 0에 도달합니다 그리고 기울기가 점점 줄고 음수인 기울기를 가집니다 따라서 이 곡선의 이 부분의 도함수는 혹은 곡선으로 나타낸 이 함수는 양수로 시작합니다 이 점에선 도함수가 0을 지납니다 왜냐하면 이 점에서 도함수의 값이 0입니다 접선이 기울기죠 그리고 음수의 크기가 점점 커집니다 적어도 여기 보이는 구간에선 말이죠 따라서 다음과 같은 형태를 띌 것입니다 직선인지는 모르겠습니다 곡선일 수도 있습니다 이와 같은 방향으로 갈 것입니다 따라서 이 파란색 곡선은 주황색 곡선의 도함수를 나타내지 않는다는 것을 알 수 있습니다 방향이 반대입니다 이 구간에서 음수에서 양수로 갑니다 양수에서 음수가 아닙니다 따라서 파란색 그래프는 오랜지색 그래프의 도함수 그래프가 아닙니다 보라색 곡선은 어떤가요? 방향은 맞는 것 같습니다 x축도 알맞은 점에서 가로지릅니다 여기서 말이죠 이 구간에선 말이죠 여기서 여기까진 양수입니다 따라서 양수입니다 이 그래프는 그래프의 접선의 기울기가 양수일 경우 양수입니다 그리고 이 그래프는 그래프의 접선의 기울기가 음수일 경우 음수입니다 하지만 마지막 그래프가 첫 번째 그래프의 도함수 그래프라고 단정지을 순 없습니다 도함수의 그래프가 극값을 더 많이 가지는 경우는 흔치 않기 때문이죠 최댓값과 최솟값이 원래 함수보다 더 많습니다 하지만 이는 전체 함수의 그래프를 보지 못해서 그럴 수도 있습니다 예를 들어 마지막 그래프가 첫 번째 그래프의 도함수라면 도함수의 부호가 여기서 음수입니다 하지만 여기선 음수의 크기가 줄어듭니다 따라서 이 점이 여기 이 점에 해당된다면 기울기가 점점 더 작은 음수로 변합니다 그리고 기울기가 0에 도달하게 됩니다 여기쯤 해당되겠죠 예를 들어 그래프가 이런 모양이라면 표시가 안되었을 뿐이죠 보여진 그래프의 나머지를 그려본 것입니다 따라서 이 그래프는 이 세 번째 함수는 첫 번째 함수의 도함수 그래프로서 좋은 후보입니다 따라서 이 그래프는 f고 이 그래프는 f'이라고 할 수 있습니다 두 번째 그래프를 봅시다 이 그래프의 도함수는 어떻게 생겼을까요? 여기서 기울기는 음수입니다 음수의 크기가 점점 작아져서 기울기가 0에 도달하게 됩니다 따라서 도함수의 그래프는 x축의 여기를 지나게 됩니다 음수로 시작해서 음수의 크기가 점점 작아지죠 그리고 여기서 x 축을 지납니다 그리고 양수의 크기가 점점 커지죠 여기서 도함수가 점점 커집니다 하지만 여기서는 양수의 크기가 작아지네요 따라서 다음과 같이 여기선 양수의 크기가 작아지고 계속 작아질 것입니다 여기선 도함수가 0이 됩니다 도함수는 여기서 x축을 지나게 됩니다 그리고 기울기가 점점 더 큰 음수로 변하면서 도함수의 값이 점점 더 큰 음수의 값을 가집니다 간단히 한 번 그렸습니다 여기 갈색 그래프같아 보이네요 여기 갈색 그래프는 이 파란색 그래프의 도함수의 그래프 같습니다 따라서 이 그래프는 f고 이 그래프는 f'이 됩니다 그리고 이 그래프가 f'이면 이 그래프의 도함수는 f''의 그래프가 됩니다 좋습니다 이게 맞네요 안전하게 확인을 해보고 싶다면 이 그래프의 도함수가 어떻게 생겼을지 그려 봅시다 한 번 봅시다 여기서 도함수는 기울기가 여기선 양수죠 하지만 접선의 기울기가 점점 작아집니다 여기서 0에 도달합니다 따라서 이 구간에서 도함수는 다음과 같습니다 접선의 기울기가 점점 더 큰 음수가 되겠죠 이 점까지 말이죠 이 점까지는 점점 더 큰 음수의 값을 가집니다 여기서부턴 점점 더 작은 음수의 값을 가지네요 도함수가 0이 될 때까지 말이죠 그리고 다음에는 점점 더 큰 양수의 값을 가집니다 따라서 보라색 곡선의 도함수는 U 모양입니다 이 보기 중엔 없네요 좋아요 이 함수의 도함수는 보기 중 없네요 따라서 중간 그래프가 f이고 왼쪽 그래프는 f' 오른쪽 그래프는 이계도함수입니다