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주요 내용

적분을 사용한 함수의 증가 정당화하기

동영상 대본

미분이 가능한 함수 h와 이 함수의 도함수인 h'(x)의 그래프를 그렸습니다 h는 파란색으로 그려져 있고 h'(x)는 주황색으로 그려져 있습니다 네 명의 학생이 x가 0보다 클 경우 h가 증가한다는 미적분학적 증명을 하라고 합니다 학생의 풀이와 선생님의 풀이를 비교해봅시다 학생들이 적은 것을 보기도 전에 그래프를 통해서 x가 0보다 클 경우 h가 증가한다는 것을 알 수 있습니다 하지만 h의 그래프만 보고선 미적분학적 증명을 할 수 없습니다 미적분을 이용하지 않죠 그래프가 증가하는 것의 지식을 사용하는 것 뿐입니다 미적분학적 증명을 하려면 미적분을 사용해야 합니다 도함수를 사용해야 하죠 그래프를 보면 도함수가 양수일 경우 함수가 증가하는 것이 보입니다 학생이 적은 것을 보기도 전에 제 미적분학적 증명은 h의 그래프를 보지도 않고 h'(x)의 그래프만 보고 h'(x)는 x가 0보다 클 경우 양수라고 할 수 있습니다 도함수가 양수인 경우 접선의 기울기가 양수라는 의미입니다 그리고 원래 함수가 증가한다는 뜻이죠 이제 한 학생이 쓴 혹은 다른 학생이 쓴 증명을 봅시다 선생님의 답변과 학생의 증명을 맞춰봅시다 선생님의 답변과 학생의 증명을 맞춰봅시다 한 학생은 h의 도함수는 x가 0보다 클 경우 값이 증가한다고 했습니다 따라서 이 경우는 x가 0보다 클 경우 도함수가 증가하는 경우이지만 이는 h가 왜 증가하는지에 대한 이유가 아닙니다 예를 들어 도함수가 음수라도 값이 증가할 수 있죠 이 경우엔 h의 값이 감소하겠죠 올바른 증명은 h'(x)가 양수여야 한다는 것입니다 증가하는게 아니죠 왜냐하면 증가하는 경우에도 음수일 수 있습니다 보기를 봅시다 h가 증가하는 것을 증명하지 못한다 라는 보기를 고르겠습니다 x가 0보다 클 경우 x가 증가하면서 함수의 값이 증가합니다 이는 h의 값이 증가하는 증명이지만 미적분학적 증명이 아닙니다 도함수를 사용하지 않죠 이는 미적분학적 증명이 아닙니다 를 고르겠습니다 x축의 위에 있습니다 이 보기는 어떤가요 h에 대해 말하는 건가요? h'에 대해 말하는 건가요? h'가 x 축의 위에 있다는 것을 말하는 것이라면 x가 0보다 클 경우 이는 좋은 증명이 됩니다 하지만 어떤 그래프인지 그리고 구간을 명시하지 않습니다 조금 내려 봅시다 이 보기가 알맞은 것 같네요 조금 더 명확히 쓰세요 이 증명은 올바르다 할 수 없습니다 마지막으로 마지막 학생의 답을 봅시다 h의 도함수는 x가 0보다 클 경우 양수입니다 이게 정답이죠 도함수가 양수면 원래 함수가 구간에 대해 증가한다는 의미입니다 이게 정답입니다