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미분학

코스: 미분학 > 단원 5

단원 10: f, f', f'' 알아보기
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f, f', f'' 알아보기
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도함수를 사용하여 정당화하기

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함수의 특징과 도함수의 특징이 어떻게 연관되어 있는지 비교해 봅시다. 이러한 방식을 "미분을 사용한 증명"이라고 합니다. 어떻게 활용하는지 배워 봅시다.
도함수 f′는 기존 함수 f에 대한 흥미로운 정보들을 제공합니다. 이를 살펴봅시다.

f′으로 f가 증가하는지 감소하는지 알 수 있는 방법

함수의 x값이 증가하면 함숫값도 증가할 때 함수가 증가한다고 함을 기억하세요.
그래프를 보면 이는 오른쪽으로 가면 그래프가 위로 올라간다는 뜻입니다. 이와 상응해 감소하는 함수는 오른쪽으로 갈수록 감소합니다.
함수 f의 그래프가 있습니다. x축은 눈금이 그려져 있지 않습니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 제3사분면에서 시작해 위로 올라가고( 증가하고), 제2사분면에 있는 점까지 위로 볼록하며, 아래로 내려가고 (감소하고) 제4사분면에 있는 점까지 위로 볼록하다 제4사분면에 있는 점까지 아래로 볼록하게 움직이다가 위로 올라가며 (증가하며) 아래로 볼록하게 움직이다가 제1사분면에서 끝납니다.
이제 f의 그래프는 없고 그 도함수 f′의 그래프만 있다고 가정해 봅시다.
함수 f 프라임의 그래프입니다. x축은 눈금이 그려져 있지 않습니다. 그래프는 U 모양의 곡선입니다. 곡선은 제2사분면으로 시작해 음의 x축을 지나 제4사분면에 있는 점까지 아래로 볼록하게 아래로 내려가다, 양의 x축에 있는 점까지 아래로 볼록하게 위로 움직이다 제1사분면에서 끝납니다.
그래도 f가 언제 증가하고 감소하는지, 도함수 f′의 부호를 이용해 알 수 있습니다.
  • 도함수 f′가 양수인 구간(x축 위)은 함수 f가 증가하는 구간입니다.
  • f′이 음수인 구간(x축 밑)은 f가 감소하는 구간입니다.
함수 f의 그래프에 세 부분이 표시되어 있습니다. 그 중 하나는 제2사분면에서 그래프가 아래로 움직이는 부분으로 f 프라임은 양수이고 f는 증가합니다. 다른 하나는 제3사분면에서 그래프가 아래로 움직이고 제4사분면에서는 위로 움직이는 부분으로 f 프라임은 음수이고 f는 감소합니다. 나머지 하나는 제1사분면에서 그래프가 위로 움직이는 부분으로 f 프라임은 양수이고 f는 증가합니다.
함수의 성질을 그 도함수를 이용해 도출하는 것은 미적분학에 근거를 둔 논리를 사용하는 것입니다.
연습문제 1
함수 f가 왜 증가하는 함수인지에 대한 이유는 두 가지가 있습니다:
A. x값이 증가하면 f값도 증가합니다.
B. f의 도함수는 항상 양수입니다.
둘 중 미적분학에 근거한 이유는 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 2
미분가능한 함수 f와 그 도함수 f′의 그래프입니다.
x>3일 때 f가 감소한다는 결론에 알맞은 미적분학에서의 근거는 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 도함수의 그래프와 부호를 연결짓지 않는 것

도함수의 그래프를 다룰 때에는 다음 두 개의 사실이 동치라는 것을 기억해야 합니다:
  • 어떤 점이나 구간이 f′(x)<0인 것
  • 그 점과 구간에서 f′의 그래프가 x축 아래에 있는 것.
( f′(x)>0과 x축 위에 있는 것도 같은 관계입니다.)

f′로 f의 극소와 극대가 어디에 있는지 아는 방법

함수 f가 어떤 점에 극대를 가지려면 그 점 전에 증가하고 후에 감소해야만 합니다.
최댓값 자체에서는 함수가 증가하지도, 감소하지도 않습니다.
함수 f의 그래프가 있습니다. x축은 눈금이 그려져 있지 않습니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 제3사분면에서 시작해 위로 올라가고( 증가하고), 제2사분면에 있는 극대인 점까지 위로 볼록하며, 아래로 내려가고 (감소하고) 제4사분면에 있는 점까지 위로 볼록하다 제4사분면에 있는 점까지 아래로 볼록하게 움직이다가 위로 올라가며 아래로 볼록하게 움직이다가 제1사분면에서 끝납니다.
도함수 f′의 그래프에서 이는 그래프가 어떤 점에서 x축을 지난다 뜻이고, 따라서 위의 그래프는 점에 도달하기 전에 x축 위에 있고 후에 x축 아래에 있습니다.
함수 f 프라임의 그래프입니다. x축은 눈금이 그려져 있지 않습니다. 그래프는 U 모양의 곡선입니다. 곡선은 제2사분면으로 시작해 음의 x축을 지나 f의 극대가 있는 제4사분면에 있는 점까지 아래로 볼록하게 아래로 내려가다, 양의 x축에 있는 점까지 아래로 볼록하게 위로 움직이다 제1사분면에서 끝납니다.
연습문제 3
미분가능한 함수 g와 그 도함수 g′의 그래프입니다.
g는 x=−3에 극대를 가진다는 결론에 알맞은 미적분학에 근거한 이유는 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 함수와 도함수의 관계 잘못 이해하기

이전에 보았듯이 도함수의 부호는 함수의 방향과 연결되어 있습니다. 하지만 다른 성질을 기반으로는 어떠한 정당화도 할 수 없습니다.
예를 들어 도함수가 증가한다는 사실은 함수가 증가한다는 (혹은 양수라는) 사실을 의미하지 않습니다. 또한 도함수가 특정 x값에서 극대나 극소를 가지고 있다는 것은 그 x값에서 함수가 극대나 극소를 가진다는 것을 의미하지 않습니다.
연습문제 4
미분가능한 함수 h와 그 도함수 h′의 그래프입니다.
네 명의 학생에게 x>0일 때 h가 증가한다는 결론에 알맞은 미적분학에 근거를 물어보았습니다.
선생님의 답변과 각 정당화를 맞추어 보세요.
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연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어보세요.

흔한 실수: 정확하지 않은 언어 사용하기.

함수와 그 도함수의 관계를 볼 때 영향을 미치는 것이 많이 있습니다. 함수 자신, 도함수, 함수의 방향, 도함수의 부호 등이 있습니다. 각각의 순간에 어떤 것을 말하고 있는 것인지 확실하게 하는 것이 아주 중요합니다.
예를 들어 위의 연습문제 4에서 h가 증가한다는 사실에 대한 옳은 미적분학에서의 정의는 h′가 양수라고 하거나 x축 위에 있다고 하는 것입니다. 한 학생의 정의는 x축 위에 있다고 한 것이었습니다. 이 정의는 무엇이 x축 위에 있는지 설명하지 않았습니다. h의 그래프였을까요? h′의 그래프였을까요? 아니면 다른 것일까요? 상세히 말하지 않으면 정의는 옳지 않습니다.

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