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주요 내용

이계도함수를 사용하여 정당화하기

"미분을 사용한 증명"과 이계도함수를 사용하면 원함수의 오목성과 변곡점의 위치를 확인할 수 있습니다.
일계도함수 f, prime은 기존 함수 f가 증가하는지 감소하는지, 그리고 f는 어디에서 극값을 가지고 있는지 알려준다는 것을 배웠습니다.
이계도함수 f, start superscript, prime, prime, end superscript은 기존 함수 f볼록함f에서 변곡점이 어디에 있는지 알려줍니다.

그래프의 볼록함이란 무엇인지 복습해 봅시다.

함수는 기울기가 증가할 때 아래로 볼록합니다. 그래프를 보면 아래로 볼록한 그래프는 컵 모양, \cup입니다.
함수 f의 그래프가 있습니다. x축은 눈금이 없습니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 제2사분면에서 시작해 y축까지 아래로 볼록하게 아래로 움직이고 2개의 점을 지나 아래로 볼록하게 위로 움직이고 제1사분면에서 끝납니다. 접선은 위로 올라가며 각 점과 만납니다. x값이 더 크고 더 높이 있는 점과 만나는 접선은 다른 접선보다 기울기가 큽니다.
f의 그래프는 아래로 볼록합니다 (\cup 모양입니다). x가 증가하면 기울기가 증가하는 것을 볼 수 있습니다.
이와 같이 함수는 기울기가 감소할 때 위로 볼록합니다. 그래프를 보면 위로 볼록한 그래프는 모자의 챙 모양, \cap입니다.
함수 g의 그래프가 있습니다. x축은 눈금이 없습니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 제2사분면에서 시작해 y축까지 위로 볼록하게 위로 움직이고, 위로 볼록하게 아래로 움직여 2개의 점을 지나 제4사분면에서 끝납니다. 접선은 아래로 내려가며 각 점과 만납니다. x값이 더 크고 더 낮게 있는 점과 만나는 접선은 다른 접선보다 기울기가 큽니다.
g의 그래프는 위로 볼록합니다 (\cap 모양입니다). x가 증가하면 기울기가 감소하는 것을 볼 수 있습니다.
변곡점은 함수가 볼록함을 바꾸는 지점입니다.
함수 f의 그래프입니다. x축은 눈금이 그려져 있지 않습니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 제2사분면에서 시작해 아래로 볼록하게 아래로 제1사분면에 있는 점까지 움직이고, 변곡점까지 아래로 볼록하게 위로 움직이다가 계속해서 어떤 점까지 위로 볼록하게 위로 움직이다가 위로 볼록하게 아래로 움직여 제4사분면에서 끝납니다.

f, start superscript, prime, prime, end superscript으로 f의 오목성을 찾는 방법

이계도함수 f, start superscript, prime, prime, end superscript이 양수이면 일계도함수 f, prime이 증가한다는 뜻이고, 이는 f가 아래로 볼록하다는 뜻입니다. 이와 마찬가지로 음의 f, start superscript, prime, prime, end superscriptf, prime이 감소하고 f는 위로 볼록하다는 뜻입니다.
f, start superscript, prime, prime, end superscriptf, primef
양수 plus증가 \nearrow아래로 볼록 \cup
음수 minus감소 \searrow위로 볼록 \cap
x축을 지남(부호가 바뀜)극점 (방향이 바뀜)변곡점 (볼록함이 바뀜)
그래프로 나타낸 예제입니다:
f, start superscript, prime, prime, end superscriptf, primef
fx, equals, c의 왼쪽으로는 start color #aa87ff, start text, 위, 로, space, 볼, 록, end text, end color #aa87ff하고 x, equals, c의 오른쪽으로는 start color #1fab54, start text, 아, 래, 로, space, 볼, 록, end text, end color #1fab54함을 볼 수 있습니다.
연습문제 1
f는 두 번 미분 가능한 함수라고 합시다. 아래는 그 함수의 이계도함수 f, start superscript, prime, prime, end superscript의 그래프입니다.
f가 항상 아래로 볼록한 구간은 어디일까요?
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: f, f, prime, f, start superscript, prime, prime, end superscript의 관계의 혼동

f가 아래로 오목하려면 f, prime은 증가해야 하고 f, start superscript, prime, prime, end superscript은 양수여야 한다는 것을 기억하세요. f, f, prime, f, start superscript, prime, prime, end superscript의 다른 성질은 꼭 연관되지 않습니다.
예를 들어 위에 있는 연습문제 1에서 f, start superscript, prime, prime, end superscript은 구간 open bracket, minus, 8, comma, minus, 2, close bracket에서 아래로 볼록하지만 그 구간에서 f가 아래로 볼록하다는 뜻은 아닙니다.
연습문제 2
h는 두 번 미분 가능한 함수라고 합시다. 아래는 그 함수의 이계도함수 h, start superscript, prime, prime, end superscript의 그래프입니다.
h의 변곡점은 어디에 있나요?
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어보세요.

흔한 실수: 그래프의 정보 잘못 해석하기

학생이 위의 연습문제 2를 푸는데 그래프가 h일계도함수의 그래프라고 생각한다고 상상해 봅시다. 이 경우 hAB에 변곡점을 가집니다. 이 점들이 h, prime이 방향을 바꾸는 점이기 때문입니다. 이 학생은 틀렸습니다. 이 그래프는 이계도함수의 그래프이고 정답은 D이기 때문입니다.
항상 주어진 정보를 잘 이해해야 합니다. 함수 f의 그래프인지, 일계도함수 f, prime인지, 이계도함수 f, start superscript, prime, prime, end superscript인지 잘 구분해야 합니다.
연습문제 3
두 번 미분가능한 함수 g와 그 이계도함수 g, start superscript, prime, prime, end superscript의 그래프입니다.
네 명의 학생에게 g x, equals, minus, 2에 변곡점을 가진다는 결론에 알맞은 미적분학에서의 근거를 물어보았습니다.
선생님의 답변과 각 정당화를 맞추어 보세요.

이계도함수를 사용해 극점이 최댓값인지 최솟값인지 구분하는 것

x, equals, 1에 극점이 있고 구간 open bracket, 0, comma, 2, close bracket에서 아래로 볼록한 함수 f를 상상해 봅시다. 이 정보를 가지고 극점이 최댓값인지 최솟값인지 알 수 있나요?
정답은 네입니다. 아래로 볼록한 함수는 컵 모양, \cup 모양이라는 것을 기억하세요. 이 모양에서는 최솟값만 존재할 수 있습니다.
이와 같이 함수가 위로 볼록하고 극값이 있으면, 극값은 최댓값이어야 합니다.
함수 f의 그래프입니다. x축은 눈금이 그려져 있지 않습니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 제2사분면에서 시작해 아래로 볼록하게 아래로 제1사분면에 있는 최솟값 점까지 움직이고, 제1사분면에 있는 최댓값 점까지 위로 움직이는데 아래로 볼록하다 위로 볼록하며 위로 오목하게 아래로 움직이다 제4사분면에서 끝납니다.
연습문제 4
두 번 미분가능한 함수 h와 그 이계도함수 h, start superscript, prime, prime, end superscript의 그래프입니다.
h, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 0일 때 hx, equals, minus, 4에 극대를 가진다는 결론에 알맞은 미적분학에 근거한 이유는 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어보세요.