변곡점을 구할 때 하는 실수: 정의되지 않은 이계도 함수

로버트는 x의 세제곱인 g(x)가 변곡점을 어디서 가지는지 찾아야 합니다 풀이는 다음과 같습니다 로버트의 풀이가 맞나요? 틀렸다면 어디서 실수를 했나요? 영상을 잠시 멈추고 풀어보세요 이제 같이 풀어봅시다 g(x)는 x의 세 제곱근입니다 이는 x^1/3과 같죠 1단계에서 로버트는 일계도함수와 이계도함수를 구하고 있습니다 일계도함수는 멱의 법칙을 사용하면 1/3x의 -2/3제곱입니다 잘 구했네요 이계도함수는 지수와 1/3을 곱해서 -2/9가 됩니다 지수에 -2/3에 1을 빼서 -5/3이 되며 맞게 풀었습니다 여기서 로버트는 정리해서 쓰는군요 여기에 -2/9가 있습니다 하지만 이를 분모로 옮기면 x^5/3과 같죠 분모에 있는 x^5/3은 분모에 있는 x^5/3은 x^5의 세 제곱근과 같죠 아직까진 좋습니다 1단계는 맞습니다 2단계에서는 이계도함수가 0일 경우 x의 값을 구하려고 합니다 이는 해가 존재하지 않으며 맞습니다 이계도함수가 0과 같을 수 없죠 0과 같으려면 분자가 0이 되야 합니다 2는 0이 될 수 없습니다 따라서 2 단계는 맞습니다 3단계는 g(x)는 변곡점이 없다고 합니다 이 단계가 의심스럽네요 다수의 경우에 이계도함수가 0일 경우에도 변곡점인지 확실하지 않습니다 이는 후보 변곡점이죠 이계도함수가 해당 x 값을 지날 때 부호가 바뀌는 것을 확인해야 합니다 하지만 이 경우는 이계도함수가 0인 경우가 없습니다 하지만 다른 변곡점의 후보 중 이계도함수가 정의되지 않을 경우가 존재합니다 따라서 이계도함수가 정의되지 않는 경우를 확인해보지 않은 것이 실수입니다 예를 들어 g'(x)이 언제 정의되지 않나요? x = 0일 경우 정의되지 않겠죠 0^5의 세 제곱근은 0이 됩니다 하지만 0으로 나누는 것이 되겠죠 따라서 g'(x)는 x = 0일 경우 정의가 되지 않습니다 따라서 x = 0일 경우가 변곡점의 후보가 됩니다 이제 검사를 해봅시다 이전에 보았던 테이블을 그려서 구간이 들어가는 칸입니다 구간에 검사할 값들을 선택하죠 조심해야 합니다 의미가 있는 값들을 선택하세요 그 다음 g'(x)의 이계도 함수의 부호가 들어가겠죠 그 다음 오목성이 있습니다 g의 오목성이죠 x = 0이 변곡점이 되려면 부호가 바뀌거나 이계도함수가 x = 0을 지날 때 부호가 바뀌어야 합니다 이는 x = 0을 지날 때 g의 오목성이 부호를 바꾸는 것이죠 0보다 작은 수를 봅시다 음의 무한대부터 0까지 그리고 0보다 큰 값인 0 부터 무한대가 있습니다 실험할 값을 정합니다 -1과 1을 고릅시다 이 두 값을 사용할 때 주의해야 합니다 이 두 값 사이에 어떤 일이 일어나지 않도록 값의 간격이 좁아야 합니다 후보 변곡점을 구할 때 까지 말이죠 x = -1일 경우 이계도함수의 부호가 무엇인가요? x = -1일 경우요 -1의 5제곱은 -1입니다 -1의 5제곱은 -1입니다 -1의 3제곱근은 -1입니다 따라서 결과는 -2/9 / -1입니다 따라서 결과는 -2/9 / -1입니다 이는 2/9가 됩니다 따라서 여기 부호는 양으로 바뀝니다 그리고 음수를 다룰 경우에 그리고 음수를 다룰 경우에 모든 음수의 5제곱은 음수이기 때문이죠 그리고 그 수의 세제곱근은 음수가 됩니다 하지만 음수를 음수로 나누었습니다 양수를 갖게 되겠죠 따라서 이 실험한 값은 이 전체 구간에 의미가 있습니다 양수일 경우를 보면 5제곱은 양수이고 세제곱근도 양수입니다 하지만 -2/9를 양수로 나누면 하지만 -2/9를 양수로 나누면 음수가 됩니다 따라서 x = 0을 지날 때 오목성이 바뀝니다 x가 0보다 작을 경우 위로 오목하겠죠 이계도함수가 양수입니다 그리고 x가 0보다 작을 경우 아래로 오목합니다 적어봅시다 아래 x가 0보다 클 경우 아래입니다 따라서 x가 0일 경우 오목성이 변화합니다 따라서 이는 x가 부호를 바꾸고 있죠 부호를 바꾸고 있죠 g'(x)가 x = 0일 경우 부호를 바꿉니다 그리고 x = 0일 경우 함수가 정의됩니다 그리고 x = 0일 경우 함수가 정의됩니다 따라서 x = 0일 경우 변곡점을 가집니다 따라서 변곡점은 x = 0입니다 세 제곱근의 그래프에 익숙하다면 이 점에서 변곡점을 가지는 것을 알겠죠 다 풀었네요 3단계가 틀렸습니다 변곡점이 있습니다 이는 이계도함수가 0일 경우가 아닙니다 이는 이계도함수가 정의되지 않았을 경우입니다