변곡점을 구할 때 하는 실수: 변곡점인지 확인하기

올가는 f(x) = (x - 2)^4의 변곡점을 찾으라고 합니다 올가의 풀이는 다음과 같습니다 그리고 올가의 풀이를 보고 맞는지 확인을 해봅시다 틀렸다면 어디서 실수를 했나요? 영상을 멈추고 풀어보세요 풀이를 봅시다 여기선 일계도함수를 찾습니다 연쇄법칙을 사용하겠죠 이는 4(x-2)^3 ᐧ (x - 2)의 도함수인 1입니다 이는 4(x-2)^3 ᐧ (x - 2)의 도함수인 1입니다 한 번 봅시다 이 식의 도함수를 구합니다 이는 3 ᐧ 4인 12이고 (x - 2)^2을 곱하고 (x - 2)의 도함수인 1을 곱합니다 풀이가 동일하죠 12(x - 2)^2입니다 따라서 올가는 1단계를 잘 풀었습니다 2단계는 이계도함수가 0일 경우 해가 x = 2라고 합니다 잘 풀은것 같네요 이계도함수는 12(x - 2)^2이며 이 식이 0과 같을 경우를 찾습니다 이는 x = 2일 경우만 가능합니다 2단계도 잘 풀었네요 3단계는 올가가 f의 변곡점은 x = 2에 있다고 합니다 이 근거로는 이계도함수가 x = 2일 경우 0이라는 것이죠 f''(2)가 0이라는 근거로 주장하는 것입니다 이 부분이 잘못됐네요 이계도함수가 x = 2일 경우 0이라는 것은 두 개의 후보 변곡점을 알려주긴 하지만 그 점이 변곡점이라고 장담할 순 없습니다 변곡점은 위 오목성에서 아래 오목성으로 변하는 점입니다 혹은 반대로 말이죠 이계도함수로 말할 경우 이는 이계도함수의 부호가 x = 2보다 낮은 값에서 x = 2보다 높은 값으로 갈 때 바뀐다는 것입니다 하지만 항상 그렇진 않기에 확인을 해야 합니다 확인을 해 봅시다 구간을 한 번 봅시다 구간을 한 번 봅시다 음의 무한대에서 2까지의 구간을 봅시다 그리고 2에서 양의 무한대까지 구간을 봅시다 실험값을 정해서 실험할 수 있습니다 이계도함수의 부호 부호를 생각하고 그리고 이에 따른 f의 오목성을 생각해 봅시다 어떤 일이 일어나는지 봅시다 실험값을 봅시다 1은 이 구간에 있고 3은 이 구간에 있습니다 (1 - 2)^2은 -1의 제곱이고 1입니다 따라서 이 값은 12입니다 따라서 이 값은 양수고 3을 확인해 보면 (3 - 2)^2은 1이고 12가 됩니다 이 결과도 양수네요 이 지점에서는 위로 오목합니다 이 실험값은 2의 양쪽 값이며 이계도함수의 부호가 2의 양쪽 다 양수이고 더 가까운 값을 실험해 봐야겠다고 생각할 수 있죠 하지만 여기서 이계도함수를 확인해보면 절대로 음수가 되지 않습니다 따라서 x = 2가 아닐 경우의 값은 여기에 이 값은 x - 2가 음수라고 해도 제곱을 하기 때문에 양수가 됩니다 그리고 이 수에 양수를 곱하죠 따라서 x = 2가 아닌 다른 값들은 이계도함수의 부호를 양으로 만듭니다 이는 위로 볼록하단 의미고 x = 2일 경우 임계점이 존재하지 않습니다 부호가 바뀌지 않기 때문이죠 x가 2보다 작을 경우에서 2보다 클 경우로 갈 때 말이죠 이계도함수의 부호가 변하지 않아요 따라서 이 단계는 틀렸습니다 이계도함수가 x = 2를 지날 때 부호가 바뀌지 않기 때문에 임계점이 존재하지 않습니다 오목성이 바뀌지 않는다는 뜻이기도 하죠