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주요 내용

대수적으로 변곡점 알아보기

이계도함수 g''의 부호 변화를 통해 g(x)=¼x⁴-4x³+24x²의 변곡점을 구해 봅시다.

동영상 대본

g(x)를 화면에 보이는 함수로 놓읍시다 g(x)를 화면에 보이는 함수로 놓읍시다 x가 어떤 값을 가질 때 g의 그래프가 변곡점을 가질까요? g의 그래프가 변곡점을 가질까요? 우선 변곡점이 무엇인지 먼저 짚고 넘어갑시다 변곡점은 그래프의 개형이 오목에서 볼록, 또는 볼록에서 오목으로 변하는 지점입니다 아니면 이계도함수 g''(x)의 부호가 바뀌는 지점이라고 할 수도 있습니다 부호가 바뀌는 지점이라고 할 수도 있습니다 그럼 이계도함수를 분석해봅시다 우선 이계도함수를 찾아봅시다 함수 g(x)는 화면에 나온 것과 같습니다 함수 g(x)는 화면에 나온 것과 같습니다 g(x)가 이렇게 주어질 때 g'(x)를 구해봅시다 g(x)가 이렇게 주어질 때 g'(x)를 구해봅시다 거듭제곱 함수의 미분법을 적용합시다 4 × ¼ = 1 이므로 ¼×x⁴의 미분은 1 × (x의 4 - 1제곱)이 되므로 ¼×x⁴의 미분은 1 × (x의 4 - 1제곱)이 되므로 x³이 됩니다 그 뒤는 3 × 4 = 12 이고 지수는 3 - 1이므로 -12 × x²이고, 24 × 2 = 48, 지수는 1이므로 48x가 됩니다 이렇게 도함수 g'(x)를 찾았습니다 이렇게 도함수 g'(x)를 찾았습니다 이제 이계도함수를 찾아봅시다 g''(x)는 도함수의 x에 대한 미분입니다 g''(x)는 도함수의 x에 대한 미분입니다 다시 거듭제곱의 미분법을 적용하면 g''(x) = 3x² - 24x + 48 g''(x) = 3x² - 24x + 48 이제 어디서 부호가 바뀌는지 찾아봅시다 이 g''(x)는 연속함수이고, 모든 x에 대해서 정의됩니다 따라서 부호가 바뀔 수 있는 후보는 따라서 부호가 바뀔 수 있는 후보는 g''(x) = 0인 점 밖에 없습니다 이제 어디서 g''(x) = 0이 되는지 봅시다 g''(x) = 0으로 놓습니다 3x² - 24x + 48 = 0 3x² - 24x + 48 = 0 각 계수가 3의 배수이므로 양 변을 3으로 나눕시다 x² - 8x + 16 = 0 x² - 8x + 16 = 0 이 식의 좌변을 인수분해 할 수 있을까요? (x - 4)(x - 4)로 인수분해 되겠네요 (x - 4)² = 0으로 나타낼 수도 있습니다 결국 x - 4 = 0이고, x = 4입니다 따라서 g''(4) = 0입니다 이제 x = 4의 양쪽에서 어떻게 되는지 봅시다 정확히는 그 양쪽에서 부호가 바뀌는지 보는 것이죠 수직선을 하나 그립시다 여기서부터 2, 3, 4, 5, 6 여기서 우리가 알고 있는 흥미로운 사실은 g''(4) = 0이라는 점입니다 g''(4) = 0이라는 점입니다 이제 x < 4일때 이계도함수가 어떤지 봅시다 계산하기 쉽도록 g''(0)를 구해봅시다 g''(0) = 48입니다 g''(0) = 48입니다 따라서 x < 4일때 이계도함수 g''(x)는 0보다 큽니다 결과적으로 g의 그래프는 4의 왼쪽 구간에서 위로 오목입니다 이제 4의 오른쪽을 봅시다 이제 4의 오른쪽을 봅시다 이제 4의 오른쪽을 봅시다 어떤 값이 계산하기 쉬울까요? 어떤 값이 계산하기 쉬울까요? 한 번 g''(10)을 계산해봅시다 한 번 g''(10)을 계산해봅시다 g''(10) = 3 × 10² - 24 × 10 + 48 g''(10) = 3 × 10² - 24 × 10 + 48 즉, g''(10) = 300 - 240 + 48 계산하면 108입니다 이것 역시 양수입니다 따라서 4의 양쪽에서 g''(x)는 0보다 큽니다 x = 4에서 g''(x) = 0임에도 불구하고 x = 4에서 g''(x) = 0임에도 불구하고 그 양쪽에서 그래프는 위로 오목합니다 양쪽 모두에서 이계도함수가 양수인 것이죠 x = 4는 단지 변곡점의 후보였을 뿐입니다 따라서 g의 변곡점은 존재하지 않습니다 만약 x = 4 주변에서 이계도함수의 부호가 변했다면 이계도함수의 부호가 변했다면 x = 4는 g의 변곡점이 되었겠죠 x = 4는 g의 변곡점이 되었겠죠 하지만 부호는 양수에서 양수로 유지되었죠 이계도함수는 양수였다가 x = 4에서 0에 접했고, 다시 양수가 되었습니다 다시 문제로 돌아가서, 어떤 x에서 g의 그래프가 변곡점을 가질까요? 이러한 x는 없습니다 이러한 x는 없습니다