대수적으로 오목성 알아보기

함수 g(x)가 있습니다 4차 함수입니다 함수 g(x)가 위로 볼록한 곡선인지 아래로 볼록한 곡선인지 알고 싶습니다 위로 볼록, 그리고 아래로 볼록의 개념에 대해 복습해봅시다 아래로 볼록한 아래로 볼록한 함수의 구간입니다 아래로 볼록한 구간은 기울기가 증가하고 위쪽이 뚫려있는 U자와 같이 생겼습니다 그리고 여기서 기울기가 음수가 되고 x가 증가할수록 기울기는 양수에 가까워집니다 거의 0에 가까워지다 0의 값을 가지게 됩니다 0을 거쳐서는 점차 양의 값을 가지게 되고 더 큰 양의 값을 가지게 되므로 그래프의 기울기가 점차 증가하는 것을 볼 수 있습니다 도함수를 계산하여 생각해보면 f'(x)는 곡선을 따라 증가합니다 곡선에서 f'(x)가 증가하는 이계 도함수 f''(x)는 g(x)로 표현해 보겠습니다 왜냐하면 여기서 g(x)를 예시로 들고 있기 때문입니다 g'(x)가 증가하는 것을 적어봅시다 g에서 아래로 볼록한 것의 의미는 g'(x)가 증가한다는 것이고 g'(x)가 증가한다는 것의 의미는 g의 이계 도함수가 0보다 크다는 것입니다 위로 볼록한 그래프는 그와 반대입니다 위로 볼록한 그래프는 x가 증가할 때 기울기가 감소하기 때문에 위로 볼록해집니다 즉 g'(x)가 감소합니다 혹은, 이계 도함수가 0보다 작습니다 혹은, 이계 도함수가 0보다 작습니다 한번 그려보겠습니다 x의 값이 작을 때 기울기가 양의 값을 가집니다 기울기가 점점 작아져 기울기가 점점 작아져 0에 가까워지고 결국 0이 됩니다 그 후 음수의 값을 가지고 기울기는 더 작아지게 됩니다 보시다시피 기울기는 x가 증가할수록 줄어들고 있습니다 어디서 위로 볼록하고 아래로 볼록한지 g의 곡선을 알기 위해서는 g의 이계 도함수를 찾아야 합니다 g의 이계 도함수가 양수에서 음수 혹은 음수에서 양수가 되는 점, 혹은 0이거나 정의되지 않는 점을 찾아봅시다 혹은 0이거나 정의되지 않는 점을 찾아봅시다 0의 값을 가지는 점들의 구간사이에서 g의 변화를 알아봅시다 그래프가 어디서 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 알 수 있습니다 그럼 해봅시다 미분을 적용해 일계 도함수 g'(x)를 구해 봅시다 삼차항은 -4x³이 되고 2 x 6은 12이기 때문에 일차항은 12x가 됩니다 그리고 -2인데 -2x에서 x가 사라져서 -2가 됩니다 -3은 사라져서 0이 됩니다 이제 g''(x)를 계산해봅시다 3 x (-4)를 계산해보면 -12이고 여기에 12를 더해 미분식을 도출하면 -12x²+ 12가 됩니다 이 함수가 정의되지 않는 곳이 있을까요? 이 이계 도함수는 어떤 x이든 정의할 수 있는 이차 함수 입니다 아무데서나 정의가 됩니다 눈여겨 보아야 할 부분은 이 함수가 음수에서 양수로 바뀔 때 또는 양수에서 음수로 바뀔 때, 즉, g"(x) = 0인 지점입니다 찾아봅시다 -12x² + 12 = 0이 되는 x의 값을 알아내봅시다 12를 우항으로 넘기면 우항은 -12가 됩니다 양변을 -12로 나누면 x² = 1이 됩니다 x는 ±1의 값을 가질 수 있습니다 √1은 1이기 때문에 ±√1이 ±1과 같습니다 즉 x = 1또는 x = -1일 때 g의 이계도함수는 0입니다 이외의 값에서 함수 g는 위로 혹은 아래로 볼록합니다 이 부분에 대하여 생각해 봅시다 생각해 보기 위해 수직선을 그려봅시다 색을 바꾸어서 괜찮은 색으로 그려봅시다 수직선을 조금 크게 그렸습니다 수직선을 조금 크게 그렸습니다 여백을 활용해 다시 그려보겠습니다 이곳이 0이고 -1입니다 이곳은 -2이고 이곳이 1입니다 이곳은 2입니다 x = -1이거나 x = 1일 때 g"(x) = 0이 됩니다 무슨 일이 일어나는지 생각해 봅시다 g"(x)가 양수인지 음수인지 조사하여 함수 g의 그래프가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 알 수 있습니다 이곳이 첫 번째 구간이고 이곳이 첫 번째 구간이고 (-∞ , -1)입니다 (-∞ , -1)입니다 이 구간에서 g"(x)가 음의 값을 가지는지 양의 값을 가지는지 알아봅시다 x = -2일 때 계산하기가 쉽습니다 g"(-2)를 계산해보면 (-2)² = 4이기 때문에 -12 x 4가 됩니다 결론적으로 (-48) + 12이네요 최종적으로는 -36입니다 알아야 할 핵심은, g"(x)는 0을 지나지 않고 g(x)가 불연속 하지 않기 때문에 이 구간 전체에서의 g(x)가 음수입니다 이 구간 전체에서의 g(x)가 음수입니다 이 구간에서 이 구간에서 g"(x) < 0이므로 이 구간에서 함수는 위로 볼록합니다 위로 볼록한 함수입니다 위로 볼록한 함수입니다 이제 -1과 1사이의 구간을 봅시다 -1과 1사이의 열린구간이네요 한번 봅시다 계산하기 쉬운 0을 대입해 봅시다 g"(0)은 0입니다 g"(0)은 0입니다 핵심은 g"(x) > 0이고 따라서 g가 아래로 볼록하다는 겁니다 -1과 1에서의 구간에서 말입니다 마지막으로 x가 1보다 큰 구간을 봅시다 이 구간은 (1, ∞)이라고 합시다 이 구간은 (1, ∞)이라고 합시다 아무 숫자나 대입해 봅시다 g"(2)를 계산해 봅시다 g"(2)를 계산해 봅시다 g"(2)는 g"(-2)와 동일하네요 g"(2)는 g"(-2)와 동일하네요 -2를 제곱하면 2를 제곱한 것과 똑같이 4가 되기 때문입니다 4 x (-12)를 하면 -48 + 12, 즉 -36이 됩니다 이 구간에서 -36이므로 마찬가지로 위로 볼록하겠습니다 제가 미리 그래프를 그려봤는데요, 미분으로 계산한 것이 그래프와 일치하는지 봅시다 미분을 통해 그래프를 그리지 않고서도 개형을 알 수 있었습니다 그래프와 계산 결과를 맞추어 볼까요? 그래프와 계산 결과를 맞추어 볼까요? 결과가 잘 맞는 것 같아요 결과가 잘 맞는 것 같아요 조금만 작게 해서 보겠습니다 조금만 작게 해서 보겠습니다 화면 안에 이렇게 배치하겠습니다 g가 음의 무한대에서 g가 음의 무한대에서 -1까지는 위로 볼록하다고 했었습니다 -1까지는 위로 볼록하다고 했었습니다 -1까지 말입니다 이 점까지 말이지요 기울기는 x = -1이 될 때 까지 계속 감소하는 것을 볼 수 있습니다 여기서 부터 기울기가 커지기 시작해 여기서 부터 기울기가 커지기 시작해 여기서 부터 기울기가 커지기 시작해 x = 1이 될 때까지 커집니다 여기는 색칠하지 않겠습니다 같은 색으로 해봅시다 같은 색으로 해봅시다 기울기는 x = 1이 될 때 까지 기울기는 x = 1이 될 때 까지 계속 증가합니다 이후 기울기는 다시 줄어들기 시작합니다 다시 위로 볼록해집니다 아까 주황색이었으니까 지금도 주황색으로 해보겠습니다 다시 위로 볼록해집니다 미분과 약간의 계산을 통해 알아낸 개형을 그래프를 통해 명확히 확인할 수 있었습니다 그래프를 통해 명확히 확인할 수 있었습니다