변곡점 복습

변곡점과 미적분학을 이용해 어떻게 구하는지를 복습해 봅시다.

변곡점이란 무엇일까요?

변곡점은 함수 그래프의 오목성이 변화(

\cup

에서

\cap

으로, 혹은 반대로)하는 점들입니다.

미분과 변곡점에 대해 더 배우고 싶나요? 다음 동영상을 시청하세요.

문제 1.1

$f$ ‍의 그래프는 몇 개의 변곡점을 가졌을까요?

비슷한 문제를 더 풀어보고 싶나요? 다음 연습문제를 풀어보세요.

변곡점은 극점과 비슷한 방식으로 구할 수 있습니다. 하지만, 도함수의 부호가 바뀌는 점을 찾는 대신, 이계도함수의 부호가 바뀌는 점을 찾는다는 것이 다릅니다.

예를 들어,

f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}

의 변곡점을 구해 봅시다.

f

의 이계도함수는

f^{″} (x) = 6 (x - 1) (x + 2)

입니다.

x = - 2, 1

일 때

f^{″} (x) = 0

이며, 이는 모든 점에서 정의되어 있습니다.

x = - 2

와

x = 1

은 수직선을 세 구간으로 나눕니다:

각 구간에서의

f^{″}

를 계산하여 해당 구간에서 양수인지 음수인지 확인합시다.

구간	$x$ ‍값	$f^{″} (x)$ ‍	결론
$x < - 2$ ‍	$x = - 3$ ‍	$f^{″} (- 3) = 24 > 0$ ‍	$f$ ‍가 아래로 볼록함 $\cup$ ‍
$- 2 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{″} (0) = - 12 < 0$ ‍	$f$ ‍가 위로 볼록함 $\cap$ ‍
$x > 1$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{″} (2) = 24 > 0$ ‍	$f$ ‍가 아래로 볼록함 $\cup$ ‍

f

의 그래프의 오목성이

x = - 2

와

x = 1

에서 변화한다는 것을 볼 수 있으므로,

f

는 두

x

값 모두에서 변곡점을 가진다는 것을 알 수 있습니다.

문제 2.1

g (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2}

$g$ ‍의 그래프에서 변곡점은 $x$ ‍가 어느 값일 때 생길까요?

비슷한 문제를 더 풀어보고 싶나요? 다음 연습문제를 풀어보세요.

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