벡터 함수란?

곡선 C가 있다고 합시다 이 곡선 C는 매개변수로 표현될 수 있습니다 x는 t에 대한 어떤 함수이며 y 역시 t에 대한 어떤 함수입니다 이 함수는 t가 구간 [a, b]에 있을 때 정의된다고 합시다 그러니까 t는 a 이상 b 이하입니다 이것을 그려보자면, 구체적으로 접근하기보다는 일반적으로 접근하겠습니다 이것이 x축이고 이것이 y축입니다 t = a 일 때 곡선 C는 이 점에서 시작하여, 이렇게 간다고 합시다 이 곡선이 무슨 곡선인지는 모르겠지만요 그리고 이 점이 t = b일 때의 점입니다 즉 이 점의 x 좌표는 함수 x(t)에 b를 대입한 x(b)이고요, y 좌표는 y(b)입니다 그리고 이 점은 t = a일 때이니까 실제 R² 카테시안 좌표는 (번역자 주: xy 좌표를 말하는 것) x 좌표는 x(a)이며, y 좌표는 y(a)입니다 이것처럼 두 개의 매개변수식을 이용해 나타낸 곡선을 분석하는 것은 많이 해오던 일입니다 이제 제가 하고 싶은 것은, 이 똑같은 곡선을 벡터 함수로써 나타내고 싶습니다 먼저 벡터 함수가 뭔지 잘 기억이 나지 않으시는 분들을 위해 벡터 함수를 잠시 복습하겠습니다 벡터 함수 r이 있다고 합시다 벡터 모자를 달아 줄게요 많은 교과서에서는 벡터 함수는 굵게 표시하고 스칼라 함수는 그냥 표시하는데 실제로는 그렇게 쓰기 어려우니까 대신 벡터 모자를 위에 달아줄게요 이 r이 t에 대한 함수라고 하겠습니다 이 벡터 함수는 위치벡터함수입니다 위치벡터 위치벡터!! 이것을 명시하는 이유는 보통 벡터를 얘기할 때에는 이 벡터와 이 벡터는 동일한 벡터입니다 왜냐하면 크기와 방향이 같으니까요 벡터에서 중요한 것은 크기와 방향이며, 시점(시작점)과 종점(끝나는 점)은 큰 중요성이 없습니다 하지만 위치벡터의 경우에는 시점이 원점으로 고정됩니다 따라서 위치벡터의 종점은 어떤 특정한 한 점을 유일하게 가리키게 됩니다 즉, 서로 다른 두 위치벡터는 서로 다른 두 점을 가르킵니다 이 경우에는 위치벡터가 이차원 공간 위의 있지만 삼차원 공간에 있을 수도 있고 4차원이든 5차원이든, 모든 n차원에 대해서도 존재할 수 있습니다 다시 말하자면, 위치벡터를 정하게 되면 이 위치벡터는 그 공간 상에서의 어느 한 점을 유일하게 가르키게 됩니다 그렇다면 이 곡선을 위치벡터 함수로 나타내 봅시다 이 r(t)가 일단 이 색깔을 핑크색으로 다시 바꿀게요 이런 초록색이네요 :( r(t)는 x(t)에 x 방향으로의 단위 벡터를 곱한 것 단위 벡터는 위에 단위 벡터임을 알려주는 특별한 모자를 씌워줍시다 더하기 y(t) × j 입니다 (j는 y 방향으로의 위치벡터) 만약 이 곡선이 삼차원에서의 곡선이라면 여기에다가 z(t) × k 항도 추가됩니다 하지만 우리 경우에는 이차원이니까 이대로 끝납니다 이 위치벡터 함수 역시 a 이상 b 이하인 t에 대해서 정의됩니다 이 위치벡터함수가 왼쪽의 곡선과 동일한 곡선을 나타내도록 해보겠습니다 먼저 우리의 좌표계를 그려봅시다 축도 그려주고요 이것이 y축이고 이것이 x축입니다 먼저 시작점은 r(a)이니까 이것부터 시작하자면, 여기서 하겠습니다 우리의 위치벡터함수 r에 t = a를 대입한 결과는 x(a) 곱하기 x 방향의 단위벡터 더하기 y(a) 곱하기 y 방향의 단위벡터입니다만 이것은 어떻게 보일까요? 먼저 x(a)는 이 점입니다 그러니까 벡터는 x(a)에 단위벡터 i를 곱한 것이 되겠죠 단위벡터가 이만큼 길다고 합시다 이 길이가 1입니다 따라서 x(a) × i는 x축 방향으로 x(a)만큼 뻗어있는 벡터입니다 y(a)도 똑같습니다 y축 방향으로 y(a)만큼 뻗어 있습니다 그리고 이 두 벡터를 더한 r 벡터는 다음과 같이 생겼습니다 벡터 r은 위치벡터이므로 시점은 원점에 고정되어 있습니다 벡터 r의 종점이 가르키는 점이 r(a)입니다 여기서 a가 조금 증가하면 어떻게 될까요? r에다가 조금 증가한 a를 대입하면 어떻게 될까요? 그러니까 r(a+Δ) 아니면 r(a+h)는 어떻게 될까요? r에다가 a를 조금 증가시킨, 그러니까 r(a+h)를 생각해 봅시다 이것은 x(a+h)i + y(a+h)j 입니다 이건 어떻게 보일까요? 주어진 곡선에서 조금 더 앞으로 가겠죠? r(a+h)가 나타내는 것은 점 (x(a+h), y(a+h))와 같으니까요 여기에 있는 점이라고 합시다 이것은 새로운 위치벡터입니다 (단위벡터라고 말실수해서 정정하는 중) 새로운 위치벡터는 다음과 같다고 하겠습니다 다음과 같습니다 이것이 벡터 r(a+h)입니다 보시다시피 t의 값이 b가 될 때까지 계속 증가시킬수록, 이 위치벡터들은 계속해서 어떤 특정한 점을 가르킵니다 그래서 곡선은, 이렇게 나타날 것입니다 왼쪽 위에 있는 곡선과 정확히 동일한 곡선입니다 예를 들어서 벡터 r(b)는 다음과 같은 벡터입니다 이렇게 생긴 벡터이죠 똑바르게 잘 그려볼까요 네, 바로 이 벡터가 r(b) 벡터입니다 여러분은 이제 이 위치벡터들이 가르키는 점은 기존의 매개변수로 표현한 곡선 위의 점과 똑같은 점을 가르킨다는 점을 눈치채셨을 것입니다 이것을 한 이유는 다음 영상에서 다룰 벡터 함수의 미분를 하기 전에 벡터 함수에 대해 복습하기 위함이었습니다