예제: 극함수의 미분

0 ≤ θ ≤ 2π에 대하여 함수 r = 3θsin(θ)가 있습니다 함수 r = 3θsin(θ)가 있습니다 극좌표에서 r의 그래프는 위 그림처럼 두 개의 고리가 있습니다 왜 고리가 두 개인지 생각해 봅시다 θ = 0일 때 r = 0이고 θ가 증가하면 θ = π가 될 때까지 첫 번째 고리를 따라가기 시작합니다 θ = 0에서 θ = π까지 첫 번째 고리를 따라서 갔습니다 그리고 두 번째 고리는 r이 크므로 이는 θ = 0에서 θ = 2π까지입니다 이는 θ = 0에서 θ = 2π까지입니다 왜 아래에는 고리가 없나요? sin(π)와 sin(2π) 사이에 이 부분은 음수가 되므로 x축에 대하여 뒤집은 것이고 x축에 대하여 뒤집은 것이고 3θ 때문에 r의 크기가 커집니다 3θ 때문에 r의 크기가 커집니다 따라서 π에서 2π까지는 더 큰 원을 따라갑니다 간단해 보이는군요 점 P는 r의 그래프 위에 있고 y축 위에도 있습니다 점 P에서 θ에 대한 x좌표의 변화율을 구하세요 좋습니다 조금만 생각해 봅시다 x가 θ의 함수로 주어지지 않았습니다 주어진 정보로만 구해야 합니다 극좌표 복습을 살짝 해보자면 여기 θ가 있고 여기 r이 있다면 이 점은 이 θ에 대한 곡선 위의 점입니다 그렇다면 이것을 x와 y로 어떻게 변환하나요? 여기에 작은 직각삼각형을 만듭니다 여기에 작은 직각삼각형을 만듭니다 기본 삼각법에서 밑변의 길이는 밑변의 길이는 이 점의 x좌표이므로 x좌표는 빗변 r과 cos(θ)의 곱입니다 빗변 r과 cos(θ)의 곱입니다 r과 θ의 함수로 y좌표를 구한다면 y = rsin(θ)가 됩니다 하지만 y는 필요없고 x좌표만 필요합니다 이 식을 θ만의 식으로 나타내고자 합니다 어떻게 할까요? r의 식을 구해야 하는데 r은 그 자체로 θ에 대한 함수이므로 r에 이 식을 대입합니다 따라서 x(θ)는 따라서 x(θ)는 3θsin(θ)cos(θ)입니다 3θsin(θ)cos(θ)입니다 한 점에서 θ에 대한 x좌표의 변화율을 구하고자 하므로 θ에 대한 x의 도함수를 구해 봅시다 θ에 대한 x의 도함수를 구해 봅시다 x'(θ)는 이 식은 세 식의 곱입니다 첫 번째 식은 3θ이고 다음은 sin(θ) 그 다음은 cos(θ)입니다 따라서 도함수를 구하려면 곱셈 법칙을 적용합니다 세 식에 대하여 곱셈 법칙을 취하려면 두 식에 대하여 곱셈 법칙을 취하는 것과 본질적으로 동일합니다 첫 번째 항은 첫 번째 식의 도함수인 3과 다른 두 식의 곱이므로 3sin(θ)cos(θ)이고 두 번째 항은 중간 항의 도함수와 나머지 두 식의 곱이므로 3θ, sin(θ)의 도함수는 cos(θ)이고 다른 cos(θ)까지 곱하면 3θcos²(θ)가 됩니다 3θcos²(θ)가 됩니다 마지막 항은 cos(θ)의 도함수와 나머지 두 식의 곱입니다 cos(θ)의 도함수는 -sin(θ)이므로 -sin(θ)와 3θisn(θ)를 곱하면 -3θsin²(θ)가 됩니다 점 P에서의 값을 구해야 합니다 점 P에서의 θ는 무엇일까요? 점 P는 첫 번째 고리 위에 있으므로 점 P에서 θ는 π/2입니다 점 P에서 θ는 π/2입니다 실제로 구해야 하는 것은 x'(π/2)입니다 계산하면 다음과 같습니다 3sin(π/2) = 3이고 cos(π/2) = 0이므로 이 식 전체는 0이 되고 3π/2 cos²(π/2) = 0 이므로 cos²(π/2) = 0 이므로 이 식 전체는 0이 되고 - 3π/2 sin²(π/2) sin(π/2)는 뭐죠? 1이므로 제곱하면 그대로 1입니다 따라서 정리하면 -3π/2 입니다 실제로 이 값이 맞는지 확인하는 것이 좋습니다 θ에 대한 x의 변화율로 -3π/2가 맞을까요? 어떻게 되는지 살펴보죠 θ가 살짝 증가한다면 x는 명백히 감소하므로 음수가 맞습니다 따라서, θ에 대한 x의 변화율은 -3π/2입니다 θ가 증가하면 x는 당연히 감소하므로 적어도 직관적으로는 맞습니다