극함수의 미분

여기 극좌표에 r = sin(2θ)가 있고 여기 극좌표에 r = sin(2θ)가 있고 극좌표가 익숙하지 않다면 혹은 복습이 필요하다면 칸아카데미에서 극좌표에 대해 검색하거나 미적분학 예습 부분을 보길 권장합니다 그래도 살짝 알려드릴게요 왜 이 그래프가 이런 모습인지 익숙해져 봅시다 따라서, 이 그래프의 임의의 점에 대하여 x와 y좌표에 대하여 이 점들을 분명하게 특정할 수 있지만 각과 반지름에 대하여도 특정할 수 있습니다 예를 들어, 이 점은 x좌표와 y좌표가 있을 것이고 예를 들어, 이 점은 x좌표와 y좌표가 있을 것이고 혹은 원점에서 이 점까지 직선을 그릴 수 있습니다 그리고 이 점의 각도 θ와 원점에서 이 점까지의 거리인 r을 특정할 수 있습니다 이 곡선에 익숙해지기 위해서 이 곡선에 익숙해지기 위해서 왜 이것이 직관적인지 알아봅시다 θ가 0일 때 r은 0이 됩니다 sin(2 × 0) = 0이므로 r은 0이 됩니다 θ가 커질수록 r도 커집니다 꽃 모양, 아니면 클로버 모양에 계속 이어서 그리면 이런 식으로 되고 계속해서 그려 나갑니다 θ = π/4일 때 무슨 일이 생기나요? θ = π/4일 때 sin(2 × π/4)는 sin(π/2)이므로 r = 1이 됩니다 따라서 r이 최대가 되고 그 후 θ가 커질수록 r은 다시 작아집니다 r은 다시 작아집니다 이를 미적분학의 관점에서 살펴볼 것입니다 첫 번째 문제입니다 θ에 대하여 r의 변화율을 어떻게 나타낼까요? 강의를 멈추고 풀어 보세요 r'(θ)는 무엇일까요? 사실, 새로운 내용은 없습니다 다른 함수에 변수가 하나 있는 셈입니다 연쇄 법칙을 사용합니다 여기서 θ에 대하여 미분을 취합니다 여기서 θ에 대하여 미분을 취합니다 2θ에 대한 sin(2θ)의 도함수는 cos(2θ)입니다 cos(2θ)입니다 그 다음 θ에 대한 2θ의 도함수 그 다음 θ에 대한 2θ의 도함수 즉, 2를 곱합니다 따라서 여기에 2를 곱하거나 앞에 2를 붙여주면 됩니다 좋습니다, 흥미롭군요 이번에는 이 곡선을 x와 y에 대하여 나타낼 수 있는지 알아보고 이 도함수들에 대하여 생각해 봅시다 미적분학 예습 부분의 복습으로써 극좌표의 세계와 직사각형의 세계라고도 할 수 있는 세계 사이를 살펴볼 때 다음 변환을 떠올려야 합니다 y = r·sin(θ)이고 x = r·cos(θ)입니다 빠르게 알려드리죠 왜 이것이 성립할까요? 여기 θ와 r의 조합 하나를 선택합니다 여기 θ와 r의 조합 하나를 선택합니다 이것이 θ이고 이것이 r입니다 이 높이는 y가 되고 이 높이는 y가 되고 이 길이는 x가 됩니다 이 길이는 x가 됩니다 삼각함수의 SOHCAHTOA 정의인 단위원 정의로부터의 삼각법을 알고 있으므로 sin(θ) = 대변/빗변이므로 sin(θ) = y/r이고 cos(θ) = x/r입니다 cos(θ) = x/r입니다 이 방정식들의 양변에 r을 곱하여 이 방정식들의 양변에 r을 곱하여 위와 같은 식을 얻습니다 다시 한 번 말씀드리죠 속도가 너무 빠르겠지만 이는 미적분학 예습 부분에서 극좌표에 대한 복습이었습니다 하지만 이 식들을 이용하여 오직 θ에 대하여만 나타낼 수 있습니다 어떻게 할까요? r = sin(2θ)이므로 r 대신 sin(2θ)를 대입합니다 r 대신 sin(2θ)를 대입합니다 따라서 y = sin(2θ)·sin(θ)이고 따라서 y = sin(2θ)·sin(θ)이고 따라서 y = sin(2θ)·sin(θ)이고 x = sin(2θ)·cos(θ)입니다 x = sin(2θ)·cos(θ)입니다 x = sin(2θ)·cos(θ)입니다 x = sin(2θ)·cos(θ)입니다 이 식들을 이용하여 θ에 대한 y의 변화율을 구합니다 일반화된 식을 구합니다 강의를 멈추고 한 번 해보세요 좋아요 같이 해봅시다 이번에도 도함수 기법을 사용합니다 y'(θ) 즉, θ에 대한 y의 도함수는 여기에 곱셈 법칙을 적용합니다 이 첫 번째 식의 도함수는 2cos(2θ)입니다 2cos(2θ)입니다 연쇄 법칙을 적용한 결과입니다 연쇄 법칙을 적용한 결과입니다 여기에 두 번째 식을 곱합니다 2cos(2θ)·sin(θ)이죠 그 다음 이 식을 더합니다 sin(2θ) sin(2θ) 두 번째 식의 도함수인 sin(θ)의 도함수인 cos(θ)를 여기에 곱합니다 좋습니다 x도 똑같이 합니다 x'(θ)는 첫 번째 식의 도함수는 2cos(2θ)이고 2cos(2θ)이고 여기에 두 번째 식 cos(θ)를 곱합니다 그 다음 첫 번째 식 sin(2θ)와 두 번째 식의 도함수인 -sin(θ)를 곱합니다 -sin(θ)를 곱합니다 이를 이용하여 특정한 점에서 이들을 계산할 수 있습니다 예를 들어, θ = π/4일 때 무슨 일이 일어날까요? θ = π/4일 때 검은색으로 해볼게요 이 점이 되겠죠 이 점이 되겠죠 계산해 봅시다 y'(π/4)를 계산해 보죠 y'(π/4)를 계산해 보죠 2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4) 2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4) 2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4) 2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4) 2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4) 2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4) 2cos(π/2)·sin(π/4) + sin(π/2)·cos(π/4) 이를 정리하면 무엇이 될까요? cos(π/2) = 0이므로 이 값이 0이면 이 식은 0이 됩니다 sin(π/2) = 1이고 cos(π/4) = √2/2이므로 cos(π/4) = √2/2이므로 cos(π/4) = √2/2이므로 √2/2입니다 공간 확보를 위해 여기에 적을게요 정답은 √2/2입니다 x에 대해서도 똑같이 합니다 x'(π/4)를 계산합니다 보시죠 2cos(2·π/4)는 2cos(2·π/4)는 2cos(π/2)입니다 첫 번째 부분은 똑같이 0이 됩니다 그 다음 이 식은 0이고 -sin(π/2)·sin(π/4) -sin(π/2)·sin(π/4) -sin(π/2)·sin(π/4) -sin(π/2)·sin(π/4) -sin(π/2)·sin(π/4) sin(π/2) = 1이고 sin(π/4) = √2/2이므로 sin(π/4) = √2/2이므로 계산하면 -√2/2입니다 왜 이것이 성립하는지 확인해 봅시다 여기서 θ가 증가하면서 무슨 일이 일어나는지 상상해 봅시다 π/4에서 θ가 살짝 증가하면 π/4에서 θ가 살짝 증가하면 살짝 증가하면 y좌표는 계속 증가하므로 변화율은 양수가 맞습니다 그러나 θ가 살짝 증가하면 그러나 θ가 살짝 증가하면 x좌표는 어떻게 되나요? θ가 증가할 때 x좌표는 감소하기 시작합니다 따라서 변화율은 음수가 맞는 것입니다 따라서 변화율은 음수가 맞는 것입니다 따라서 변화율은 음수가 맞는 것입니다 다음 문제입니다 x에 대한 y의 변화율을 구하고자 합니다 x에 대한 y의 변화율을 구하고자 합니다 여기 접선의 기울기를 구하고 싶기 때문이죠 기울기가 -1인 것처럼 보이지만 실제로 어떻게 계산하나요? 한 가지 방법은 x에 대한 y의 도함수는 x에 대한 y의 도함수는 θ에 대한 y의 도함수를 θ에 대한 x의 도함수로 나눈 것과 같습니다 θ = π/4일 때 θ = π/4일 때 이 값은 (√2/2)/(-√2/2)입니다 이 값은 (√2/2)/(-√2/2)입니다 이 값은 (√2/2)/(-√2/2)입니다 이 값은 (√2/2)/(-√2/2)입니다 간단히 하면 -1입니다 맞네요 실제로도 이 접선의 기울기는 -1인 것처럼 보이네요 따라서 이 식을 모두 합치면 조금 더 편안해지고 극좌표에 대한 복습을 살짝 했지만 도함수를 구함으로써 지식을 확장하였습니다