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주요 내용

곡선 위를 움직이는 물체: 속도의 크기 구하기

물체가 음함수 xy=16을 따라서 움직이고 y의 변화율이 주어졌을 때, 음함수를 사용하여 물체의 속도 벡터의 크기를 구해 봅시다.

동영상 대본

xy = 16인 곡선을 따라 움직이는 점을 봅시다 이 부분을 살펴보면 y는 증가하는데 y좌표는 분당 2의 일정한 비율로 증가합니다 즉, y의 t에 대해 미분한 변화율이 2와 같다는 것입니다 좌표가 (4, 4) 즉, x와 y의 값이 4일 때 분당 입자 속도 벡터의 크기를 구할 수 있습니다 분당 입자 속도 벡터의 크기를 구할 수 있습니다 어떻게 변화하는지 봅시다 속도의 벡터가 무엇이고 어떻게 생겼는지 생각해 봅시다 속도는 시간에 영향을 받습니다 두 부분이 있는데 하나는 x의 변화율이고 다른 하나는 y의 변화율입니다 x변수는 x의 t에 대한 도함수가 되고 y변수는 y의 t에 대한 도함수가 됩니다 y변수는 y의 t에 대한 도함수가 됩니다 이 부분에서 y의 t에 대한 도함수는 2라고 알려주었습니다 하지만 속도만 묻는 것이 아니라 하지만 속도만 묻는 것이 아니라 크기에 대해 묻고 있습니다 입자의 속도 벡터의 크기에 대해 묻고 있습니다 입자의 속도 벡터의 크기에 대해 묻고 있습니다 벡터의 예시를 조금 보여주면 좌표가 (b, c)인 벡터가 있습니다 이 벡터의 크기는 절댓값 기호를 이용하여 나타낼 수 있고 절댓값 기호를 두 번 이용하여 나타낼 수 있습니다 이 벡터의 크기는 피타고라스의 정리를 보여주는데 b의 제곱과 c의 제곱을 더한 것에 루트를 씌운 것이 됩니다 x항과 y항을 제곱하여 더한 후 루트를 씌운 형태가 되는 것입니다 입자의 속도 벡터의 크기를 알고 싶습니다 입자의 속도 벡터의 크기를 알고 싶습니다 속도 벡터 v를 t에 대한 함수로 나타내겠습니다 속도 벡터 v를 t에 대한 함수로 나타내겠습니다 x의 t에 대한 도함수의 제곱과 x의 t에 대한 도함수의 제곱과 y의 t에 대한 도함수의 제곱의 합에 y의 t에 대한 도함수의 제곱의 합에 루트를 씌우겠습니다 두 값을 어떻게 알아내야 할까요? 두 값을 어떻게 알아내야 할까요? y의 t에 대한 미분값은 분당 2의 일정한 비율을 가진다는 것을 이미 알고 있습니다 2라는 것을 미리 알고 있으니 제곱을 하면 4가 되는 것을 알 수 있습니다 하지만 x의 t에 대한 도함수는 어떻게 알아낼 수 있을까요 하지만 x의 t에 대한 도함수는 어떻게 알아낼 수 있을까요 곡선에 대해 알려준 보기의 방정식을 보고 x의 미분, y의 미분인 t에 대한 도함수가 존재하는 xy의 방정식을 알았습니다 xy의 방정식을 알았습니다 계산해 봅시다 xy = 16이라는 것을 압니다 t에 대한 도함수를 양변에 곱한 것을 약간의 변화를 주기 위헤 다른 색으로 써보겠습니다 양쪽에 t에 대해 미분을 합니다 양쪽에 t에 대해 미분을 합니다 왼쪽에는 두 개의 변수가 있습니다 x와 y가 t의 함수라면 곱의 미분법을 사용합니다 곱의 미분법을 사용합니다 곱의 미분법을 사용합니다 첫 번째 함수의 도함수와 같아져 x의 t에 대한 도함수를 x의 x에 대한 도함수로 나타낸 것은 1이라고 할 수 있습니다 x가 아닌 t로 미분한 것을 쓰고 두 번째 함수인 y를 곱한 것에 두 번째 함수인 y를 곱한 것에 첫 번째 함수 x와 t에 대해 미분한 두 번째 함수인, 앞서 보았듯 1이 되는 y의 t에 대한 미분값과 앞서 보았듯 1이 되는 y의 t에 대한 미분값과 y의 t에 대한 미분값을 곱한 것을 더한 꼴입니다 이는 상수를 미분한 것과 같아 이는 상수를 미분한 것과 같아 0이 됩니다 0이 됩니다 간단하게 나타내고자 할 필요는 없습니다 간단하게 나타내고자 할 필요는 없습니다 x의 t에 대한 미분값을 모릅니다 x의 t에 대한 미분값을 모릅니다 y의 t에 대한 미분값은 2라는 것을 압니다 좌표가 (4, 4)일 때 속도 벡터의 크기를 알고 싶습니다 속도 벡터의 크기를 알고 싶습니다 따라서 x가 4이고 y도 4일 때를 알고 싶습니다 따라서 x가 4이고 y도 4일 때를 알고 싶습니다 복잡해졌습니다 여기서 모르는 것이 x의 t에 관한 도함수, 하나이므로 이 방정식을 풀 수 있습니다 좌표가 (4, 4)일 때 대입하여 좌표가 (4, 4)일 때 대입하여 속도 벡터를 알아낼 수 있습니다 속도 벡터를 알아낼 수 있습니다 미분값 dx/dt를 적어봅시다 4와 x의 t에 대한 미분값을 곱한 것에 4와 2를 곱한 8을 더한 것이 0이 됩니다 x의 t에 대한 미분값의 4배가 -8이므로 양변을 8의 약수인 4로 나누면 x의 t에 대한 미분값은 -2가 됩니다 x의 t에 대한 변화율은 -2라는 것을 알았습니다 x의 t에 대한 변화율은 -2라는 것을 알았습니다 제곱하면 4가 됩니다 속도 벡터의 크기는 √(4+4)이므로 √8과 같은데 8은 4 x 2로 나타낼 수 있습니다 따라서 속도 벡터의 크기는 분당 2√2가 됩니다 따라서 속도 벡터의 크기는 분당 2√2가 됩니다 커넥트 번역 봉사단 | 김윤서