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주요 내용

곡선 위를 움직이는 물체: 변화율 구하기

물체가 음함수 x²y²=16을 따라서 움직이고 x의 변화율이 t에 관한 식으로 주어졌을 때, 음함수를 사용하여 y의 변화율을 구해 봅시다.

동영상 대본

주어진 점이 x²y²=16이라는 곡선을 따라 움직이면서 주어진 점이 x²y²=16이라는 곡선을 따라 움직이면서 x좌표값이 일정한 속도로 변하고 있다고 주어져 있습니다 x좌표값이 일정한 속도로 변하고 있다고 주어져 있습니다 분당 -2만큼 말입니다 이 점의 좌표가 (1,4)일 때 좌표의 분당 변화율은 얼마나 될까요? 주어진 것을 다시 반복해서 적어봅시다 곡선의 식은 x²y²=16입니다 곡선의 식은 x²y²=16입니다 저기 위에 나와 있습니다 x좌표가 일정한 속도로 변하고 있습니다 한번 밑줄 쳐 봅시다 x좌표는 분당 -2만큼의 일정한 속도로 변하고 있습니다 그래서 dx가 오른쪽에 적어보겠습니다 dx/dt 시간에 따른 x좌표의 변화율은 -2와 같습니다 그리고 단위는 단위길이/분입니다 단위길이/분입니다 풀어야 할 것은 점의 y좌표의 변화율입니다 점의 y좌표의 변화율입니다 밑줄을 그어보겠습니다 점의 y좌표의 변화율은 얼마일까요? dy/dt를 구해야 합니다 얼마일까요? 점이 (1,4)일 때 말입니다 x가 1일 때 그리고 y가 4일 때 말입니다 그럼 dx/dt, dy/dt, x, y를 사용해서 식을 어떻게 세울 수 있을까요? 그럼 dx/dt, dy/dt, x, y를 사용해서 식을 어떻게 세울 수 있을까요? 그럼 dx/dt, dy/dt, x, y를 사용해서 식을 어떻게 세울 수 있을까요? 만약 이 곡선에 대한 도함수를 찾는다면 어떻게 될까요? 양변을 모두 t로 미분하면 어떻게 될까요? 양변을 모두 t로 미분하면 어떻게 될까요? 한번 적어보겠습니다 그리고 도함수를 구해보겠습니다 다시 지우고 공간을 더 많이 이용해서 적겠습니다 됐습니다 그러면 그냥 여기에 붙일 수 있습니다 양변을 t로 미분해 볼 건데 양변을 t로 미분해 볼 건데 원한다면 언제든지 동영상을 멈추고 계속해서 문제를 풀어보시면 됩니다 왼편을 보자면 이것을 두 함수의 곱으로 보면 첫 함수를 미분할 수 있습니다 x²을 x에 대하여 미분하는 것입니다 x²을 x에 대하여 미분하는 것입니다 그 값은 2x이며 x에 대해서만 미분하는 것이 아니라 t에 대해서도 미분한다는 것을 기억해주시기 바랍니다 그러므로 연쇄법칙을 적용해야 합니다 x²을 x에 대하여 미분한 값인 2x에 x²을 x에 대하여 미분한 값인 2x에 dx/dt를 곱해줍니다 dx/dt를 곱해줍니다 그리고 두 번째 함수를 곱해줍니다 y²을 곱합니다 y²을 곱합니다 그러고는 더하기 첫 번째 함수 즉 x²을 두 번째 함수를 미분해 준 값에 곱해주면 되는 것입니다 다시 한 번 연쇄법칙을 적용하겠습니다 y²을 y에 대해서 미분하면 2y인데 이를 주황색으로 적어보도록 하겠습니다 2y와 같습니다 그리고 y를 t에 대해 미분한 값을 곱해줍니다 dy/dt를 곱해줍니다 이쪽은 16을 t에 대하여 미분한 값과 같습니다 이는 변화량이 없기 때문에 0과 같을 것입니다 그래서 여기 식이 있습니다 이것을 간단히 해야 하는데 x, dx/dt, y, dy/dt 사이의 관계식이 x, dx/dt, y, dy/dt 사이의 관계식이 주어져 있습니다 약간 간단히 하여 다시 한 번 적어 보겠습니다 이는 2xy²과 dx/dt를 곱한 값에 사실 다시 적을 필요가 없습니다 구하고자 하는 값은 dy/dt입니다 그러므로 식의 값을 대입하겠습니다 구하고자 하는 값은 x=1일 때의 값이고 주어진 조건에 의해 여기 x가 1과 같다는 것을 압니다 이 x²는 1²이 되므로 이 식은 1과 같습니다 그리고 y=4라는 것도 압니다 그러므로 이 부분은 16이 되고 이 식은 8이 됩니다 또한 x를 t에 대하여 미분한 값이 -2라는 것도 압니다 이는 문제에서 제시되었습니다 -2입니다 이제 이 식을 간단히 하면 좋을 것 같습니다 이 식은 2×1×(-2)×16으로 단순화될 수 있습니다 이 식은 2×1×(-2)×16으로 단순화될 수 있습니다 이 식은 2×1×(-2)×16으로 단순화될 수 있습니다 이는 -4×16이 되는데 -64입니다 다른 색깔을 사용하겠습니다 이 부분은 1×8×dy/dt입니다 다시 말하자면 8×dy/dt입니다 그러므로 8×dy/dt와 -64의 합은 0과 같게 됩니다 64를 양변에 더해주면 검정색으로 바꾸겠습니다 8과 dy/dt의 곱이 64와 같게 됩니다 양변을 8로 나눠주면 dy/dt의 값을 구할 수 있는데 이는 64를 8로 나눈 값 즉 8과 같습니다 단위를 살펴보자면 단위는 단위길이/분입니다 단위는 단위길이/분입니다 그러면 끝났습니다 커넥트 번역 봉사단 | 권동현