곱셈의 성질과 규칙

여기 있는 풍선은 모두 몇 개일까요? 하나씩 세어볼 수도 있지만 이번에는 풍선의 배열을 이용해 구해 봅시다 이 방법을 이용하면 하나씩 세어 보지 않아도 열의 개수와 행의 개수의 곱을 통해 직접 세기 어려운 물건의 총 개수를 쉽게 구할 수 있습니다 예를 들어 이 그림에서는 행의 개수가 4개이고 열의 개수는 7개입니다 따라서 주어진 풍선 그림은 4개의 행(rows)과 7개의 열(columns)로 이루어져 있습니다 배열되어 있는 물건의 총 개수는 나열되어 있는 물건의 행과 열의 개수를 곱한 것입니다 이 경우에는 4행 × 7열이겠죠 어떻게 이 곱이 풍선의 총 개수가 될까요? 4개의 행을 네 묶음이라고 본다면 한 묶음에 들어 있는 풍선의 개수는 열의 개수가 됩니다 행 4개에 풍선이 각각 7개씩 들어 있으므로 7개씩 네 묶음이라고 할 수 있겠죠 또는 각 열을 한 묶음으로 본다면 일곱 묶음으로 나눌 수 있으며 한 묶음에 들어 있는 풍선의 개수가 행의 개수가 됩니다 이 경우에는 4개씩 일곱 묶음입니다 같은 그림을 이용해 만들었으므로 두 식의 값은 같습니다 4 × 7 = 7 × 4 두 식을 계산하는 방법은 많습니다 4씩 뛰어 세어서 풀어 볼까요? 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 여기서 일곱 번째 수는 28이므로 4 × 7 = 28입니다 같은 방법으로 7씩 뛰어 세면 7, 14, 21, 28 계속 7을 더해주고 있는 거예요 이 식의 답도 28입니다 같은 색으로 써 줄게요 7 × 4 = 28입니다 만약 이 계산 과정이 어려웠거나 4 × 7이 무엇인지 바로 생각나지 않았다면 이 방법을 알아두어야 합니다 그림을 쪼개서 조금 더 쉽게 계산하는 방법을 알아봅시다 7열은 2열과 5열을 더한 것이라고 생각할 수 있습니다 그림에 표시해 보면 7열은 여기 있는 5열과 여기 있는 2열을 더한 것입니다 이것은 그냥 4 × 7을 4 × (5＋2)로 나타낸 것일 뿐이에요 7을 5 + 2로 쪼갠 거예요 이렇게 하면 열을 두 개로 분리할 수 있습니다 이제 풍선 그림은 4행씩 2열이 있는 묶음과 4행씩 5열이 있는 묶음으로 나눌 수 있습니다 노란색으로 표시한 묶음에는 풍선이 몇 개 있을까요? 4 × 5개만큼 있습니다 노란색으로 표시한 부분의 풍선 개수는 4 × 5개입니다 빨간색으로 표시한 묶음에는 풍선이 몇 개 있을까요? 4 × 2개만큼 있습니다 4 × 5와 4 × 2를 더하면 어떤 값이 나올까요? 4 × 7 또는 4 × (5 + 2)와 같은 값이 나올 것입니다 (4 × 5) + (4 × 2)를 계산해 볼까요? 곱셈을 먼저 계산해줘야 하므로 괄호로 표시해 볼게요 이 식은 위의 식과 같은 값을 가집니다 4 × 5 = 20이고 4 × 2 = 8이므로 20 + 8 = 28입니다 이제 이해가 가나요? 4 × 7은 4 × (5 + 2)와 같고 (4 × 5) + (4 × 2)와도 같습니다 이 식의 값은 모두 28입니다 4 × (5 + 2) = (4 × 5) + (4 × 2)는 곱셈의 분배법칙이 적용된 것입니다 첫 번째 방법으로도 문제를 쉽게 풀 수 있지만 분배법칙은 곱셈 문제를 풀 때 더 유용합니다 왜 그럴까요? 좀 더 어려운 문제를 풀어 봅시다 6 × 36은 어떻게 계산할 수 있을까요? 먼저 36을 두 수로 쪼개서 6과 두 수의 곱으로 나타낼 수 있겠죠 예를 들어 36은 30 + 6과 같습니다 이 식은 6 × (30 + 6)으로 다시 쓸 수 있습니다 이 식을 풀어주면 6 × 30 + 6 × 6이 됩니다 이 식은 6을 분배해서 6 × 30 + 6 × 6을 만든 거예요 왜 이 방법을 이용하면 곱셈을 쉽게 계산할 수 있을까요? 곱셈을 먼저 계산해줘야 하므로 괄호로 표시해 볼게요 이렇게 연산 기호가 섞여 있는 경우에는 곱셈과 나눗셈을 먼저 계산해준 뒤 덧셈과 뺄셈을 계산해야 합니다 6 × 30을 계산해 볼까요? 6 × 3 = 18이므로 6 × 30 = 180입니다 그리고 6 × 6 = 36입니다 그러므로 이 식은 180 + 36이 됩니다 180 + 36을 계산해 봅시다 0 + 6 = 6 8 + 3 = 11 1은 올라가고 1 + 1 = 2이므로 6 × 36 = 216입니다 이렇게 분배법칙을 이용해 식을 계산해 보았습니다 분배법칙은 큰 수의 곱셈을 계산할 때 유용합니다 큰 수를 작은 수로 쪼개서 계산하기 때문에 큰 수를 훨씬 쉽게 계산할 수 있습니다 수학을 계속 배우다 보면 이 방법을 좀 더 유용하게 쓸 수 있을 거예요