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절댓값의 부등식에 해를 대입해서 확인하기

동영상 대본

여기 절댓값을 이용한 세 개의 부등식이 있습니다 그 아래는 x로서 가능한 값들이 적혀 있지요 제가 이 동영상에서 하고 싶은 것은 이 가능한 값들 중에 어떤 것들이 이 부등식을 실제로 만족하는 것인지 알아내는 겁니다 먼저 이쪽 녹색으로 돼 있는 것부터 해 봅시다 x의 절대값은 -7의 절대값보다 작다는 뜻인데요, 아래의 가능한 x 값들 중 어떤 것이 이 부등식을 만족하는지 알아봅시다 x 값들을 대입하기 전에, 먼저 이 부등식을 단순화 시킬 수 있는 지 알아 봅시다 우리는 이미 |-7|이 뭔지 알고 있어요 제가 푸는 것을 보기 전에 동영상을 멈춰놓고 여러분이 먼저 한번 문제를 풀어보면 어떨까요? -7의 절대값이라 함은 -7이 0으로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는가 라는 뜻입니다 0으로부터 왼쪽으로 7만큼 떨어져 있으니까 0에서부터의 -7까지의 거리는 7입니다 다시 말하자면 어떤 수의 절대값은 항상 그 수의 양수 형태일 때의 값입니다 그러므로 -7의 절대값은 7고, 이 부등식은 |x| <7로 단순화 될 수 있지요. 이제 x=-8 을 대입했을때 부등식이 참인지 봅시다 x 가 있는 곳에다가 -8을 넣어봅니다 그럼 |-8|<7 이 되는데요 참인가요? -8의 절대값은 그냥 8이죠 그럼 8 < 7 인가요? 아니죠, 8은 7보다 큽니다 따라서 x=-8은 이 부등식을 만족하지 않습니다 x=-2일 때는 x에 -2를 대입하면 |-2|< 7 이죠 -2의 절대값이 뭐죠? 양수 2죠 양수 2는 7보다 작은가요? 2는 7보다 작죠 따라서 x=-2는 부등식을 만족합니다 -2의 절대값은 -7의 절대값보다 작습니다 마지막으로 x=6입니다 x가 보이는 곳에 6를 대입하죠 |6|< 7 인가요? 6의 절대값은 역시 6입니다 6은 0에서 오른쪽으로 6 움직인 값입니다 6이 7보다 작은가요? 그럼요 6은 7보다 작죠 따라서 x=6과 x=-2 모두 부등식을 만족합니다 이번엔 여기 붉은색으로 돼 있는 것을 풀어봅시다 그리고 다시 한 번, 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 x=-4를 해 봅시다 |-4|>5 가 되겠네요 -4의 절대값은 그냥 4고요 4는 5보다 큰가요? 아뇨, 작죠... 따라서 참이 아닙니다 이제 x=3입니다 x에다가 3을 대입합니다 |3|>5가 되네요 3의 절대값은 그냥 3이고요 3이 5보다 큰가요? 아뇨 3은 5보다 작죠 이젠 무슨 뜻인지 알겠죠? 마지막으로 x=-9 입니다 |-9|>5 여야 참인데요 -9의 절대값은 그냥 9이고요 9는 5보다 큰가요? 9는 5보다 크지요 따라서 x=-9는 부등식을 만족합니다 좋습니다 이젠 이 연보라 색을 해보죠 |x|>-16 입니다 이건 좀 흥미로운데요 여러분은 이 밑에 보기를 볼 필요도 없어요 이 부등식을 만족시키지 못하는 어떤 x가 있을까요? 조금만 생각해 봅시다 어떤 수의 절대값이 음수가 되는 일이 있을까요? 아뇨, 어떤 수의 절대값은 0이나 양수입니다 따라서 여기 |x|는 0이나 양수입니다 0이나 더 큰 수라는 말이죠 그런 수는 항상 음수보다 크게 됩니다 따라서 이 부등식은 사실 어떤 x에 대해서도 참입니다 밑의 보기를 넣어볼 필요도 없어요 하지만 여러분이 볼 수 있게 한 번 넣어볼께요 모든 x에 대해서 성립하겠지만요 x가 0이면 |x|도 0이고요 그리고 0이 아닌 다른 x값에 대해서는 그 절대값은 양수입니다 그럼 한 번 봅시다 밑의 아무 x 값이나 넣어 보면 이 부등식이 참이 됩니다 |-15|>-16 인가요? 먼저, -15의 절대값은 15입니다 물론 15는 -16보다 크죠 양수는 항상 음수보다 큽니다 따라서 이건 참이고요 만일 x=3이면 어떨까요? |x|>-16 인가요? 아 실수했네요 |3|>-16인가요? 그럼요 3의 절대값은 3이고 3은 양수죠 음수보다 큽니다 그럼 성립하네요 어떤 x를 넣어도 성립할 거라고 제가 그랬죠? 마지막으로 x=9일 때 |9|>-16일까요? 그럼요 |9|는 그냥 9이고요 9는 -16보다 큽니다 심지어 x가 0일 때에도 0은 -16보다 확실히 큽니다 따라서 어떤 x라도 부등식은 성립합니다