최대공약수와 최소공배수 문제 해결하기

윌리엄과 루이스는 산타리타에서 다른 물리수업을 들어요 루이스의 선생님은 항상 시험에 30문제를 내고 윌리엄의 선생님은 자주 시험을 보지만 문제는 24문제입니다 루이스의 선생님은 일 년에 세 번 프로젝트 과제를 줍니다 두 반의 시험문제 수는 다르지만 선생님들은 두 반이 매년 총 같은 개수의 문제를 시험본다고 합니다 윌리엄이나 루이스가 보는 일 년 동안의 최소 시험문제 수는 얼마입니까? 생각해 봅시다 시험 당 30문제를 내는 루이스의 선생님을 생각해 보면 첫 시험 후 루이스는 30문제를 풀었을 것입니다 여기에 0을 쓰고 두 번째 시험 후에는 60문제 세 번째 시험 후에는 90문제 네 번째 시험 후에는 120문제 다섯 번째 시험 후에는 만약 다섯 번째 시험이 있다면 총 150문제를 풀 거예요 계속해서 30의 배수를 보면 됩니다 힌트가 되겠네요 가장 작은 배수를 구하고 싶어요 루이스의 경우였어요 윌리엄은 어떨까요? 첫 번째 시험에 24문제를 풀고 두 번째 시험 후에 48문제 세 번째 시험 후에 72문제 다음에 96문제 24의 배수네요 네 번째 시험 후에 96문제이고 다섯 번째 시험 후에 120문제를 받게 되죠 만약 여섯 번째 시험이 있다면 144문제를 받게 되죠 계속 할 수 있지만 문제로 돌아갑시다 윌리엄 선생님과 루이스 선생님의 반이 일 년에 보는 최소 시험문제의 개수는 몇 개일까요? 최소 개수는 똑같은 문제 개수가 되는 지점입니다 문제개수가 다른 시험이지만 120에서 문제 수가 같아요 둘 다 정확히 120문제일 때에요 루이스의 선생님이 한 번에 30문제를 내고 윌리엄의 선생님이 24문제를 내도 120에서 만나네요 따라서 정답은 120이에요 둘은 시험 보는 횟수가 달라요 루이스는 네 번 윌리엄은 다섯 번의 시험을 봅니다 둘 다 총 120문제를 받게 되죠 다르게 한번 생각해 볼게요 전에 최소공배수의 구했던 방식으로요 이것은 결국 30과 24의 최소공배수를 묻는 거에요 최소공배수는 120과 같아요 배수를 살펴보는 것 말고 최소공배수를 찾는 다른 방법이 있죠 소인수분해로 찾을 수 있어요 30 = 2 x 15 15 = 3 x 5 따라서 30 = 2 x 3 x 5 24는 24 = 2 x 12 12 = 2 x 6 6 = 2 x 3 따라서 24 = 2 x 2 x 2 x 3 입니다 최소공배수를 찾아내는 또 다른 방법은 이런 연습을 해보지는 않았지만 최소공배수는 30과 24로 나눌 수 있어야해요 30으로 나누어 지려면 소인수 분해에서 2, 3, 5 를 가져야 하고 즉 30 이에요 그러니까 30으로 나누어지죠 24로 나누어지려면 소인수분해는 2, 2, 2, 3 이 필요해요 이미 2, 3이 하나씩 있으니 2가 2개 더 필요하네요 2 x 2 그러므로 바로 여기가 24로 나누어져요 그러니까 30과 24의 최소공배수의 소인수분해가 되네요 이 중에 어떤 숫자 하나만 없어도 두 숫자로 나눌 수 없어요 2를 없애면 24로 더 이상 나눌 수 없어요 2나 3을 없애거나 3이나 5를 없애도 30을 나눌 수 없죠 모두를 곱한다면 2 x 2 x 2 = 8, 8 x 3 = 24 24 x 5 = 120 한 문제 더 해볼게요 우마마는 서류철 21개짜리 한 묶음을 샀어요 표시해보죠 서류철 21개 연필 30자루짜리 한 상자도 샀구요 반 친구들을 위해 서류철과 연필을 모두 사용해 동일한 학용품 세트를 만드려고 합니다 우마마가 모든 학용품을 사용해서 만들 수 있는 세트는 최대 몇 개입니까? 최대라는 것은 최대공약수를 구한다는 단서를 줍니다 이 두 물품을 나누는 거에요 가장 많은 세트를 만들기 위해 나누게 됩니다 생각할 수 있는 방법이 몇 가지 있어요 먼저 두 수의 최대공약수가 무엇인지 생각해 봅시다 21과 30의 최대공약수는 이 두 수 모두를 나누는 가장 큰 수에요 모든 약수를 나열해서 알아볼 수도 있고 또는 소인수분해로 알 수 있어요 소인수분해를 해보죠 21 = 3 x 7 둘 다 소수에요 30은 2 x 15 라고 쓸 수 있어요 15 = 3 x 5 여기 소인수분해에서 공통으로 갖는 가장 큰 소수는 뭐죠? 3이네요 21과 30이 3에 어떤 것을 곱한 거죠? 3이에요 두 수 모두 3으로 나눌 수 있다는 뜻이에요 만들 수 있는 최대의 세트 수입니다 답은 3이라고 할 수 있습니다 이 문제를 시각적으로 나타내 볼게요 실제로 21개의 서류철를 그릴께요 서류철 21개 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11,12, 13, 14, 15, 16 17, 18, 19, 20, 21 다음은 연필 30자루 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10 그냥 복사해서 붙여볼게요 20이고 붙이면 30 3이 이 두 수 모두를 나눌 수 있는 가장 큰 수라는 것을 알 수 있죠 두 문구 개수를 모두 3묶음으로 나눌 수 있어요 서류철은 7개씩 3묵음 연필은 10자루씩 3묶음으로 나눌 수 있습니다 사람 3명이 교실에 들어오면 그들에게 각각 서류철 7개과 연필 10자루를 줄 수 있어요 우마마가 만들 수 있는 최대의 문구 세트 수입니다 서류철 7개와 연필 10자루가 들었죠 두 문구류를 똑같이 나눌 수 있는 수에 대해 생각하는 거예요 두 문구류를 똑같이 나눌 수 있는 가장 큰 수를 말이죠