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주요 내용

소수와 분수를 포함한 2단계로 푸는 방정식

항을 합치거나 분배법칙을 이용해서 2단계로 푸는 방정식을 연습해 봅시다. 만든이: 살만 칸 선생님, CK-12 Foundation

동영상 대본

방정식 문제를 몇 개 풀어 봅시다 지난 동영상에서 풀었던 문제보다 몇 단계 더 거쳐야 할 거예요 여기서 흥미로운 점은 풀이 방법이 여러 가지라는 것입니다 하지만 양변에 같은 연산을 해주면 올바른 답을 구할 수 있을 거예요 문제를 풀어 봅시다 첫 번째 문제는 1.3x - 0.7x = 12입니다 먼저 x항을 합칠 수 있겠죠? 어떤 것의 1.3배와 0.7배가 있기 때문이지요 변수가 같은 동류항입니다 만약 1.3개의 사과에서 0.7개의 사과를 뺀다면 1.3에서 0.7을 빼면 되겠죠? 따라서 이는 (1.3 - 0.7)x가 됩니다 x는 사과뿐만 아니라 어떤 것이든지 될 수 있어요 (1.3 - 0.7)x = 12입니다 지금 계산한 과정은 분배법칙을 역으로 쓴 거예요 x로 식을 묶었죠 어떤 것 1.3개에서 어떤 것 0.7개를 빼면 어떤 것은 (1.3 - 0.7)개만큼 남겠죠 1.3 - 0.7 = 0.6이므로 0.6x = 12가 됩니다 지난 동영상에서 풀었던 문제와 비슷해 보이네요 ax = b 꼴의 방정식이 되었습니다 이제 식의 양변을 x의 계수로 나눠 봅시다 양변을 0.6으로 나눠줄 거예요 좌변은 0.6이 소거되어 x만 남겠죠 12/0.6은 무엇일까요? 12를 0.6으로 나누는 것은 120을 6으로 나누는 것과 같습니다 6은 12에 2번 들어가므로 2 · 6 = 12죠 빼면 0이 나옵니다 6이 0에는 0번 들어갑니다 따라서 12를 0.6으로 나누면 20이 됩니다 검산해 볼까요? 식에 20을 대입해 봅시다 (1.3 · 20) - (0.7 · 20)은 12와 같을까요? 계산기로 계산해 볼게요 1.3 · 20 = 26이죠 따라서 이 부분은 26이 됩니다 0.7 · 20 = 14죠? 빼주면 26 - 14 = 12가 되네요 정답을 찾았습니다 x = 20입니다 두 번째 문제를 풀어 봅시다 5x - (3x + 2) = 1 조금 복잡해 보이죠? 복잡한 식은 차근차근 간단히 정리하면 됩니다 그러면 쉽게 풀 수 있을 거예요 먼저 여기 있는 -1을 괄호 안에 분배해 봅시다 분배해주면 식은 5x - 3x - 2 = 1이 되겠네요 3x와 2에 -1을 분배해준 거예요 -1 · (3x + 2) = -1 · 3x + -1 · 2 식을 정리하면 5x - 3x - 2 = 1이 됩니다 어떤 것 5개에서 어떤 것 3개를 빼주면 어떤 것은 2개만 남겠죠 5x - 3x = 2x입니다 계수끼리 계산해주면 5 - 3 = 2죠 식을 마저 써주면 2x - 2 = 1이 됩니다 이제 식을 ax = b 꼴로 정리해 봅시다 좌변에서 -2를 없애줄 거예요 양변에 2를 더해주면 되겠죠? 좌변에 2를 더해줬으니 우변에도 2를 더해 줍시다 좌변은 -2 + 2 = 0이므로 2x만 남게 되고 우변은 1 + 2 = 3이므로 식은 2x = 3이 됩니다 양변을 2로 나누면 x = 3/2이 되죠 검산은 직접 해 보세요 지저분해 보이지 않도록 경계선을 그릴게요 세 번째 문제에서는 s값을 구해야 합니다 이 문제에는 분수도 있고 s도 2개나 있네요 식을 다시 써 볼게요 s - (3/8)s = 5/6 여기서 s를 1 · s라고 볼 수 있겠죠 그러면 좌변을 s로 묶을 수 있겠네요 좌변을 s로 묶어주면 s · (1 - 3/8) = 5/6이 됩니다 1 - 3/8을 계산해 봅시다 1을 다시 쓰면 8/8이 되겠죠 따라서 1 - 3/8 = 8/8 - 3/8이며 계산하면 5/8가 됩니다 여기에 s를 곱해줘야겠죠 곱셈에서는 순서를 바꿔도 됩니다 정리하면 식은 5/8 · s = 5/6가 됩니다 즉, 어떤 것이 (1 - 3/8)만큼 있다는 것은 어떤 것 8/8만큼에서 어떤 것 3/8만큼을 빼는 것과 같으며 결국 어떤 것이 5/8만큼 있다는 것과 같습니다 s를 구하기 위해 양변에 s의 계수의 역수를 곱해 봅시다 좌변에 8/5을 곱해 봅시다 좌변에 8/5을 곱했으므로 우변에도 8/5을 곱해 줍니다 역수를 곱해주면 좌변은 s만 남게 됩니다 그리고 우변의 분자와 분모는 5로 나눌 수 있으며 분자와 분모는 2로도 나눌 수 있어요 6 ÷ 2 = 3이죠 따라서 우변은 4/3가 됩니다 s = 4/3입니다 한 문제 더 풀어 봅시다 5(q - 7)/12 = 2/3 이 식을 다시 써 보면 5/12 · (q - 7) = 2/3가 됩니다 이 식을 두 가지 방법으로 풀어볼 거예요 올바른 방법들이라면 모두 같은 답이 나오겠죠 첫 번째 방법은 먼저 방정식의 양변에 5/12의 역수를 곱하는 거예요 양변에 12/5를 곱해 봅시다 그러면 좌변의 5/12가 없어지겠죠 식이 약간 복잡해 보이네요 좌변에 12/5를 곱하면 5/12와 약분되어 좌변에는 (q - 7)만 남습니다 우변을 계산해 보면 2/3 · 12/5이므로 분자와 분모를 3으로 약분하면 12는 4가되고 3은 1이 됩니다 2 · 4 = 8이므로 우변은 8/5이 됩니다 이제 양변에 7을 더해 줍시다 다른 색깔로 써 볼게요 양변에 7을 더해 줍니다 좌변은 -7 + 7 = 0이 되어 q만 남습니다 그러므로 식은 q = 8/5 + 7이 됩니다 7은 35/5라고 쓸 수 있습니다 식의 우변을 계산해 보면 분모는 5이고 분자는 8 + 35 = 43이므로 q = 43/5입니다 이제 두 번째 방법으로 문제를 풀어 봅시다 문제를 다시 써 볼게요 첫 번째 방법과 다른 방법으로 풀어 봅시다 문제를 다시 써 보면 5(q - 7)/12 = 2/3입니다 먼저 양변에 12를 곱해서 분모 12를 없애 봅시다 양변에 12를 곱해주면 좌변의 분모 12가 소거되어 좌변은 5(q - 7)이 됩니다 우변은 2/3 · 12입니다 2/3 · 12 = 24/3죠 다시 정리해 봅시다 2/3 · 12/1를 계산하면 분자와 분모는 3으로 약분되므로 우변은 8이 됩니다 따라서 5 · (q-7) = 8입니다 양변을 5로 나눠주는 대신 분배법칙을 이용해 5를 분배해 봅시다 5를 식에 분배하면 어떻게 될까요? 5 · q = 5q가 되고 5 · -7 = -35입니다 따라서 5q - 35 = 8입니다 식의 좌변에 35를 없애려면 양변에 35를 더해주면 됩니다 양변에 35를 더해 봅시다 좌변의 35가 소거되어 좌변에는 5q만 남게 되고 우변을 계산하면 8 + 35 = 43이 됩니다 이제 양변에 1/5을 곱해 봅시다 이는 양변을 5로 나눠주는 것과 같아요 우변의 5가 소거되어 식은 q = 43/5이 됩니다 이 문제를 푸는 방법은 여러 가지예요 풀이 과정만 올바르다면 정답을 구할 수 있습니다 검산은 직접 해 보세요 따라서 이 값이 방정식을 만족하는 q의 값입니다 한 문제 더 풀어 봅시다 제이드는 시내에서 집에 갈 차비가 10달러 밖에 없습니다 택시 요금은 마일당 $0.75이며 여기에 기본요금 $2.35를 내야 합니다 식을 세워서 제이드가 가진 돈으로 갈 수 있는 거리를 구해 봅시다 계산해 볼까요? 총 택시 요금은 기본요금 $2.35에다 ($0.75 · 마일 수)를 더한 값이 되겠네요 제이드가 이동한 거리를 m이라고 합시다 이 거리의 단위는 마일입니다 제이드는 $10밖에 없으므로 택시 요금은 $10를 넘을 수 없습니다 그러므로 지불한 요금을 $10라고 하겠습니다 10 = 2.35 + 0.75m 제이드가 이동할 수 있는 거리 m은 어떻게 구할 수 있을까요? 우변의 2.35를 없애주기 위해 양변에서 2.35를 빼 봅시다 해 볼까요? 양변에서 2.35를 빼주면 우변의 2.35는 소거되겠죠? 좌변에서 10 - 2.35를 계산해 봅시다 10 - 2.35는 얼마일까요? 10 - 2 = 8이고 10 - 2.3 = 7.7이므로 10 - 2.35 = 7.65가 되겠네요 계산기로 다시 계산해 봅시다 10 - 2.35 = 7.65네요 따라서 식은 7.65 = 0.75m이 되겠죠 보기 편하도록 같은 색으로 써 볼게요 0.75m 보라색으로 표시한 부분이 5개 있죠? 이것은 이것을 나타내며 이것은 7.65가 됩니다 2.35 두 개는 지워질 거예요 m의 값을 구하기 위해 양변을 0.75로 나눠 봅시다 우변을 0.75로 나눠주면 좌변도 나눠줘야겠죠 우변은 0.75가 약분되면서 m만 남습니다 좌변은 계산기로 계산해 볼게요 7.65를 0.75로 나누면 10.2가 됩니다 m = 10.2이므로 제이드가 이동할 수 있는 거리는 10.2 마일입니다