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음수가 들어있는 등식 (곱셈과 나눗셈)

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이번에는 지금까지 산수에서 배운 분배법칙, 결합법칙 그리고 교환법칙이 음수에 대해서도 성립함을 예를 들어 확인해보고자 합니다 실제 음수가 사용된 식의 연산을 예로 삼아 음수에서 성립하는 위 법칙들을 이해해보도록 하겠습니다 이 연습문제들은 모두 칸 아카데미에서 나왔는데요 첫번째는 문제는 다음 중 -2×(5 - 3)과 같은 것을 모두 고르는 문제입니다 물론 5 - 3이 2인 것을 구하고 구한 2에 (-2)를 곱해서 (-4)라는 결과를 내고 이 중에서 (-4)와 같은 것을 고르는 것도 괜찮겠지만 이번 수업의 목적은 이 식에 분배법칙을 적용할 수 있음을 이해하는 것입니다 해 봅시다 (-2)를 분배할 수 있는데요 (-2)를 5에 곱하고 그 값에 (-2) x (-3)을 더하거나 (-2) x 3을 빼줄 수 있습니다 두 가지 모두 써보겠습니다 (-2)×5+(-2)×(-3) 이런 방법으로 볼 수도 있고 (-2)×5 - (-2)×3로 보면 빼기 기호를 썼기 때문에 (-3)을 3으로 볼 것입니다 즉 3을 빼게 되는 것입니다 (-2)×5 - (-2)×3 (-3)을 썼을 때는 +를 사용하였고 여기에 -를 사용하면 3이 되었음에 주목하세요 하지만 이 둘의 값은 같습니다 어느 쪽이든 (-2)를 분배했기 때문입니다 양쪽 다 (-2)가 있지요 이 두 식은 어떤 식과 같을까요? 우선 (-2)×5는 (-10)이고 (-2)×(-3)은 6입니다 (-2)×3은 (-6)이지만 뺐기 때문에 어느 쪽이든 6을 구할 수 있습니다 이쪽은 6이고 이쪽은 (-6)을 빼는 것에서 6을 구할 수 있습니다 그러니 (-10)+6을 구할 수 있고 두번째 선택지가 답임을 알 수 있습니다 물론 (-4)로 계산됩니다 이 식을 계산했을 때 나오는 것 처럼 말입니다 첫번째 선택지는 (-16)이 되겠네요 답을 구했기 때문에 이쪽 선택지는 고르지 않을 것입니다 몇 문제 더 풀어 봅시다 다음 중 (-s) · t · s와 같은 것을 모두 고르시오 여기서는 앞에서와 같이 문제의 식을 계산해 보고 선택지들도 계산해 동일한 것을 고르기는 어렵습니다 이 경우에는 문자들에 약간의 조작을 가할 필요가 있습니다 다양한 방법이 있습니다 한 가지 방법은 문자들의 곱하는 순서를 바꾸는 것입니다 이것을 (-s) · s · t (-s) · s · t 선택지 중에 이렇게 생긴 식이 있나요? 거의 비슷한 게 있긴 합니다 (-s) · s 라고 하는 대신 s · (-s) 입니다 이게 가능한 이유는 복잡하게 들려서 별로 사용하고 싶은 말은 아니지만 곱셈에는 교환법칙이 성립하기 때문입니다 a×b=b×a 처럼요 그러니 이 식을 다르게 쓸 수 있습니다 이 두 문자를 바꾸어서 s · (-s) · t 라고 쓸 수 있습니다 이 두 문자를 뒤바꾼 것뿐입니다 이 (-s)와 s를 말입니다 그리하여 이 선택지와 똑같은 식을 구해냈습니다 이제는 이 선택지도 확인해 봅시다 가장 쉬운 방법은 이 식을 간단히 하는 것일 겁니다 s를 분배하는 것이 좋겠네요 그러니 s를 분배하면 s×t 즉 st 혹은 s·t 이렇게도 쓸 수 있습니다 그리고 (-s) · s 이렇게 쓰거나 원한다면 s · s 와 같은 s의 제곱을 사용할 수 도 있습니다 하지만 이 식은 문제의 식과 매우 다릅니다 이 식은 세 문자의 곱일 뿐이지만 이쪽 식은 두개의 다른 항으로 구성됩니다 두 문자의 곱으로 이루어진 항과 s제곱 혹은 s · s라는 곱셈으로 이루어진 항으로 말입니다 그러므로 이것은 동일한 식이 아닙니다 다음 중 (-x) · (-y · x)와 같은 것을 모두 고르시오 그리고 말하는 것을 깜빡했는데 제가 설명하기 전에 비디오를 멈추고 스스로 한번 구해보세요 그럼 이 식을 조금 바꿔 봅시다 다시 말하지만 곱셈에는 결합법칙을 적용할 수 있습니다 (-x) · (-y) · x 이 식은 문제에 쓰인 식대로 라면 (-y) · x 를 먼저 계산하겠지만 결합법칙이 적용 가능하기 때문에 (-x) · (-y) 를 먼저 계산할 수 있습니다 그리고 이렇게 계산했을 때 재미있는 점은 음수끼리 곱했기 때문에 그 곱이 양수가 된다는 점입니다 그러니 (-x) · (-y) 는 x · y 와 같겠죠 음수와 음수를 곱하면 양수가 되기 때문입니다 따라서 x · y · x 가 되겠네요 또한 곱셈에서는 교환법칙도 적용 가능합니다 즉 곱을 하는 순서를 바꿀 수 있는 것입니다 아직 이 식과 동일한 선택지를 발견하지 못했기 때문에 교환법칙을 적용해 보고자 합니다 순서를 바꿔서 x 끼리 먼저 곱한다면 이 식을 x · x · y 로 바꾸어 쓸 수 있습니다 두 문자의 위치를 바꿨을 뿐입니다 다시 말하지만 곱할 때는 순서를 바꿀 수 있기 때문입니다 아직도 선택지 중에서 완전히 동일한 식을 찾을 수 없지만 x · x 는 x의 제곱과 같습니다 즉 이 식은 (x의 제곱) · y 로 이 선택지와 같습니다 그러면 이 식을 계산하면 어떤 값이 나올까요? 실은, 이 식을 계산하면 숫자가 나옵니다 x의 값에 상관 없이 x - x 는 0이 될 것이고 0에 무엇을 곱하든 그 값은 0이기 때문입니다 그러니 이 식을 계산하면 0이 나옵니다 즉 이것은 이 식과는 전혀 다른 것입니다 따라서 저 선택지는 답이 될 수 없습니다 한 문제 더 풀어 봅시다 다음 중 a · (-10+11)과 같은 값을 모두 고르시오 이제는 본능적으로 이러한 식을 본다면 a를 분배하고 싶어질 것입니다 그럼 해봅시다 a · (-10) 는 (-10) · a 혹은 -10a 이고 a · 11 은 11 · a와 같고 11a로 쓸 수 있습니다 이 식과 동일한 선택지는 어느 것인가요? -10a+11a 이 선택지와 동일하므로 옳습니다 이 선택지는 어떤가요? 여기서는 그냥 쓰는 순서를 바꿨습니다 11a를 먼저 쓴다면 이런 식이 될 것입니다 11a - 10a 단지 11a를 앞에 썼을 뿐입니다 그러니 이 두 식은 사실 동일한 식입니다 그러므로 이 선택지 또한 답이 되겠습니다