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수 사이의 거리로 절댓값 이해하기

동영상 대본

제가 이번 비디오에서 하고자 하는 것은 두 숫자의 차의 절댓값을 두 수 간의 거리로 생각하도록 유도하는 것입니다 a-b의 절댓값과 같은 것을 구하는 문제입니다 기억해봅시다 a-b의 절댓값은 a와 b 사이의 거리와 같습니다 이만큼의 거리를 구할 수 있죠 이만큼이 a-b의 절댓값입니다 물론, 이는 b-a의 절댓값과도 같습니다 그럼 다음 중 이와 같은 식은 어느 것일까요? 첫번째 보기는 a의 절댓값에서 b의 절댓값을 뺀 것입니다 여기서 a의 절댓값은 무엇일까요? 이는 a와 0 사이의 거리가 되겠죠. a의 절댓값은 이만큼의 거리이고요 그러면 b의 절댓값은 이 거리가 됩니다. b와 0 사이의 거리이지요 이만큼은 b의 절댓값이 됩니다 그러므로 a의 절댓값에서 b의 절댓값을 빼면 남는 것은 무엇일까요? 남는 건 바로 이만큼의 거리가 됩니다 이 거리는 a의 절댓값 빼기 b의 절댓값과 같습니다 a의 절댓값에서 이 거리를 빼면 이 초록색으로 표시된 거리만 남습니다 그리고 이는 우리가 구하려는 것과 같습니다 a-b의 절댓값은 a와 b의 차의 절댓값과 같고, a와 b 사이의 거리와 같습니다. 그러므로 이 값은 a-b의 절댓값과 같습니다. 확인해보고 싶다면 직접 수를 대입해보셔도 좋습니다 a와 b둘 다 0의 왼쪽에 있으므로 음수입니다 그리고 b는 a보다 큼을 알 수 있습니다 a보다 0에 가깝죠 직접 수를 대입해 봅시다 예를 들어, b를 -1, a를 -5로 놓고 풀어보면 식이 성립함을 알 수 있습니다 그럼, a의 절댓값 더하기 b의 절댓값은 어떨까요? 이는 이 분홍색 거리 a의 절댓값에 파란색 거리, b의 절댓값을 더하는 것과 같습니다 그러므로 이 식은 이 두 지점 사이의 거리보다 더 큰 값이 나오겠죠 아니면 숫자를 대입해도 됩니다 a를 -5로 두고, b를 -1로 두면 a-b의 절댓값은 -5-(-1)의 절댓값과 같겠죠 이는 -5+1의 절댓값과 같고 즉 -4의 절댓값과 같습니다 따라서 결과는 4입니다 이 두 숫자들 같은 경우에는 a가 b보다 작다는 것을 염두에 두고 무작위로 뽑은 것입니다 초록색으로 표기된 거리는 4가 됩니다 반면에 a의 절댓값 더하기 b의 절댓값은 -5의 절댓값 더하기 -1의 절댓값, 즉 5+1이 되겠죠 이는 6과 같습니다. 위 조건에 맞게 선택한 이 두 수의 경우에는 식이 성립하지 않습니다 그러므로 이는 옳은 답이 아닙니다 정답을 하나 찾았기 때문에 '답 없음'은 선택하지 않습니다 몇 가지 더 해봅시다 다음 중 a-b의 절댓값과 같은 것을 고르는 문제입니다 다시 한번, 두 수의 차의 절댓값은 두 수 간의 거리와 같습니다 제가 지금 그리고 있는 거리와 같겠죠 이 거리는 a-b의 절댓값입니다 첫번째 보기를 봅시다 절댓값 기호 없이 순 a-b이네요 a는 음수이며, b는 양수입니다 음수에서 양수를 빼면 음수가 나옵니다 그러므로 이 값은 음수가 됩니다 더 작은 수에서 더 큰 수를 빼면 무조건 음수가 되지요 그러나, 우리가 구하고자 하는 거리는 양수입니다 이는 두 지점 사이의 거리이므로 음수가 될 수 없죠 그럼 두번째 보기를 살펴봅시다 -(b-a)입니다 b-a는 양수가 됩니다 b가 a보다 크기 때문이죠 b가 a보다 크면 b-a는 양수가 될 것입니다 하지만 이 식에 -1을 곱하므로, 이 식 역시 음수가 됩니다 이렇게도 생각해 볼 수 있습니다 b에서 음수를 빼는 것은 음수의 절댓값을 더하는 것과 같습니다 그러므로 이만큼은 양수입니다 그러나 이 앞의 부호 때문에 이 식은 결국 음수가 되지요 이 식 또한 저번처럼 수를 조건에 맞게 대입하여 풀어도 됩니다 b를 3으로, a를 -2로 놓으면 직접 해보시면 좋겠습니다 a-b의 절댓값을 구하면 5가 됩니다 그리고 보기들 중 이와 같은 값이 나오는 것을 찾는 거죠 그에 해당하는 보기는 없네요 그러므로, 이 문제는 '답 없음'을 고르면 됩니다 계속 합시다, 재밌네요 다음 문제입니다 다음 문제를 제일 잘 해석한 보기를 골라봅시다 11-x의 절댓값, 즉 11과 x사이의 거리가 있고 이는 y-3의 절댓값이랑 같습니다 이는 y와 3 사이의 거리에 해당합니다 이 식은 11과 x사이의 거리가 y와 3 사이의 거리와 같다는 것을 말하고 있습니다 11과 x사이의 거리가 y와 3 사이의 거리와 같다는군요 제가 방금 한 말이랑 똑같습니다. 그러므로 저는 이것을 답으로 선택하겠습니다 다른 보기들도 살펴봅시다 11과 -x 사이의 거리가 y와 -3 사이의 거리와 같답니다 11과 -x 사이의 거리는 이 값과 다릅니다 11에서 -x를 뺀 절댓값인 셈이죠 이는 결국 11+x의 절댓값과 같습니다 x가 0이 아닌 이상 이는 11-x의 절댓값이 아니죠 y와 -3 사이의 거리 역시 같습니다 이는 y-(-3)의 절댓값이 되겠네요 이는 문제에 제시된 값과 다릅니다 그러므로 이 보기는 식을 옳게 해석했다고 보기 어렵습니다 11과 y 간의 거리가 -x와 -3의 거리와 같다고 합니다 이 경우에는 그냥 모든 항을 섞어 놓았군요 이는 당연히 답이 될 수 없겠네요 한 문제만 더 풀어보도록 하지요 다음 보기 중, 이 직사각형의 넓이와 같은 값을 찾아봅시다 직사각형의 넓이를 구하려면, 밑변과 높이를 구하면 되겠죠 그럼 이들 중 이를 만족하는 것이 있는지 찾아봅시다 j-l 의 절댓값, 이 색으로 표시하겠습니다 j-l의 절댓값입니다 j-l에서 j의 x좌표는 -6이 되겠습니다 l의 x좌표는 6이 되겠네요 이때 j-l의 절댓값은 가로축, 즉 j와 l 사이의 길이와 같겠고 즉 이 선분의 길이와 같습니다 이 선분의 길이는 j-l의 절댓값입니다 j와 l의 x 좌표들은 -6과 6입니다 ㅣj-lㅣ에 직접 대입해 보면 이가 성립함을 알 수 있습니다 -6에서 6을 빼니까 -12가 되고, 그의 절댓값은 12가 되겠죠 정확한 값은 알 필요 없지만요 이 선분의 길이가 j-l의 절댓값과 같다는 것만 알면 됩니다 또 m-q의 절댓값이 있네요 m-q의 절댓값입니다 m은 이 점의 y좌표이고, q는 이 점의 y좌표입니다 그러므로 m-q의 절댓값의 길이는 이 두 점 사이의 거리가 되겠죠 x좌표는 변하지 않으니 신경쓰지 않아도 됩니다 ㅣm-qㅣ가 이 변의 길이가 될 것입니다 맞습니다 이 변과 이 변을 곱하면, 사각형의 넓이를 구할 수 있습니다. 바로 답이 나왔네요, 이 보기가 정답입니다 다른 보기들은 왜 오답인지 살펴봅시다 우선, j-m의 절댓값이 있네요 이 답 같은 경우에는 이 점의 x좌표와 이 점의 y좌표를 계산하고 있기 때문에 답이 될 수 없습니다 이번엔 j-n의 절댓값이 있는데요 둘 다 x좌표를 나타내는 수이고 x좌표가 같기 때문에 이 값은 0이 되겠죠 j와 n 둘 다 -6으로 같습니다 이는 이 선분의 길이를 구하지 못합니다 이 식은 x좌표끼리 뺐지만, 이 선분은 y축과 평행하기 때문이죠 이 선분의 길이를 구하려면, y좌표의 변화량인 k-o의 절댓값을 구해야합니다 이 선분은 x의 변화량인 n-p, 또는 p-n의 절댓값이 적합하겠죠 하지만 그런 보기가 없으므로, 이 답이 옳습니다