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주요 내용

Scale factor와 넓이

축척을 사용한 도형의 넓이에 scale factor가 어떤 영항을 미치는지 알아봅시다.

동영상 대본

다각형 Q는 다각형 P의 닯음비 1/2에 대한 닮은꼴입니다 다각형 Q의 넓이는 다각형 P의 넓이의 얼마를 차지하는 것일까요? 동영상을 멈추고 한번 풀어봅시다 좋아요, 그림이 보이게끔 하고싶지만 연습하다 보면 그림을 그리지 않고도 풀 수 있을 것입니다 하지만 임의의 다각형 P와 Q가 주어졌으므로 간단하게 만들어 봅시다 넓이를 구해야하기 때문에 직사각형을 이용하고자 합니다 왜나하면 넓이를 구하기엔 직사각형이 용이하기 때문입니다 자, 다각형 Q는 다각형 P의 닮은꼴입니다 다각형 P에서 시작합시다 빨간색을 이용하겠습니다 다각형 P에 대한 임의의 다각형을 그려보겠습니다 여기서 닮음비 1/2이 적용되기 때문에 변의 길이를 적당한 짝수로 정하겠습니다 이 변의 길이를 4로 합시다 이 변의 길이는 8로 합시다 여기 다각형 P는 사각형이지만 사실상 직사각형입니다 이 넓이는 4 × 8 즉 32입니다 이제 다각형 Q를 만들어 봅시다 기억하세요, 다각형 Q는 닮음비 1/2을 이용한 P의 닮은꼴입니다 닮음비 1/2을 적용합니다 이 변의 길이는 4에서 2가 되고 이 변의 길이는 8에서 닮은꼴의 대응하는 변으로 4가 됩니다 이렇게 닮음비 1/2을 적용하였고 넓이는 어떻게 될까요? 다각형 Q의 넓이는 넓이는 2 × 4 즉 8이 됩니다 다각형 Q의 넓이는 다각형 P 넓이의 1/4이므로 타당합니다 왜냐하면 다각형의 닮음비 1/2이 높은 차원으로 넘어갈 때 넓이비는 닮음비의 제곱이 되기 때문입니다 1/2의 제곱은 1/4이고 넓이는 닮음비 1/4이 적용됩니다 아니면 답을 구하는 다른 방식이 있습니다 다각형 Q의 넓이는 다각형 P의 넓이의 얼마를 차지하는 것일까요? 다각형 P 넓이의 1/4이 될 것입니다 여기서 핵심은 만약 도형의 각 변에 닮음비 1/2을 적용한다면 넓이비는 닮음비의 제곱이므로 1/2의 제곱은 1/4이 됩니다 닮음비가 만약 1/3이라면 넓이비는 1/9이 될 것입니다 닮음비가 2라면 넓이비는 4가 됩니다 다른 예제를 풀어봅시다 직사각형 N의 넓이는 5입니다 다른 색을 이용하겠습니다 직사각형 N의 넓이는 5입니다 제임스는 직사각형 N의 닮은꼴을 그렸습니다 이를 직사각형 P라고 합시다 바로 여기 있습니다 이것은 직사각형 N의 닮은꼴입니다 직사각형 N에 대한 직사각형 P의 닮음비는 무엇일까요? 생각해 봅시다 직사각형 P는 주어졌습니다 차원에 대하여 생각해 봅시다 세로의 길이는 1, 2, 3, 4, 5 5이고, 가로의 길이는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9입니다 따라서 넓이는 45입니다 직사각형 N의 넓이는 5입니다 쓰면서 풀어봅시다 N의 넓이에서 P의 넓이가 되려면 9를 곱합니다 넓이가 5인 도형으로부터 45인 도형으로 확대하려면 N의 넓이는 5이고 P의 넓이는 45가 나왔습니다 따라서 넓이비는 9가 됩니다 넓이비가 9라면 닮음비는 몇일까요? 이에 대해 방금 이야기해 보았습니다 넒이비는 닮음비의 제곱입니다 닮음비에 대해 생각해보면 닮음비의 제곱은 9가 됩니다 다른 방식으로는 N에서 P의 닮음비는 3이 됩니다 이제 답이 맞는지 증명해 봅시다 증명이 맞기를 바랍니다 P보다 작은 닮은꼴 직사각형을 닮음비 3을 이용하여 그려봅시다 그러면 이 직사각형에 닮음비 3을 적용하면 직사각형 P를 얻습니다 그러므로 이 직사각형의 밑변은 9 대신 3이 됩니다 좋습니다 가로의 길이는 3이고 세로의 길이는 5 대신 5/3 입니다 5/3은 1과 2/3이므로 이 세로를 보면 이런 식으로 될 것입니다 5/3입니다 직사각형 N은 이렇게 될 것입니다 넓이는 무엇일까요? 5/3 × 3 = 5 입니다 그러므로 넓이비가 9일 때 5/3에서 닮음비를 적용하여 5가 되려면 3을 곱해야 합니다 3에서 9가 되려면 3을 곱해야 합니다