사각형이란?

사각형(Quadrilateral)에 대해 살펴봅시다 단어의 앞부분 quad의 뜻부터 생각해보죠 이것은 4를 의미합니다 사각형은 2차원 도형으로 변 4개, 꼭짓점 4개 각 4개로 이루어져 있습니다 예를 들면 하나, 둘, 셋, 넷 마지막 변을 곧게 잘 그리지 못했지만 이것은 사각형입니다 하나, 둘, 셋, 넷 이것 역시 사각형이고 이 도형 역시 사각형입니다 모두 네 변과 네 꼭짓점 네 각을 가집니다 각이 한 개, 두 개 세 개, 네 개있죠 각의 크기를 재 볼까요? 이 사각형은 더 크게 그려 볼게요 이 사각형의 내각을 살펴보면 여기 세 개의 각이 있고 여기 아주 큰 각이 하나 있습니다 사각형은 성질에 따라 여러 가지 그룹으로 나눌 수 있습니다 우선 오목한 것과 볼록한 것을 기준으로 분류해 봅시다 오목사각형과 볼록사각형이 있습니다 오목사각형은 오목하게 파여있는 형태로 생겼습니다 예를 들면 이 사각형이 오목사각형이겠죠 한 변이 파인 것처럼 생겼습니다 오목사각형을 정의하는 다른 방법도 있습니다 먼저 이 사각형을 더 크게 그립시다 이 오목사각형은 180도보다 더 큰 내각을 가지고 있습니다 예를 들어 이 내각의 크기는 180도보다 더 큽니다 이를 간단하게 증명해 볼게요 오목사각형의 내각 중에 적어도 한 각이 180도보다 크면 사각형의 네 변 중 어떤 변도 서로 평행하지 않습니다 다른 종류의 사각형도 생각해 봅시다 네 각이 모두 180도보다 작은 사각형일 때는 어떻게 될까요? 만약 한 각이 180도였다면 이 각을 이루는 변은 두 변이 아닌 한 변이 될 것이고 그 도형은 삼각형처럼 보일 거예요 하지만 네 각이 모두 180도보다 작으면 볼록사각형이 될 것입니다 이 두 사각형이 볼록사각형에 포함되겠죠 이 도형 역시 볼록사각형이 될 수 있어요 네 개의 점, 네 개의 변 네 개의 각이 있어요 볼록사각형을 또다시 분류할 수 있지만 여기서는 볼록사각형에 집중해 볼까요? 사다리꼴은 볼록사각형 중 하나입니다 보통 사용하는 정의와 약간 다를 수 있어요 사다리꼴은 한 쌍의 평행한 변을 가진 볼록사각형이라고 정의되기도 합니다 예를 들면 이 사각형은 사다리꼴이며 이 변과 이 변은 평행합니다 사다리꼴의 이름을 붙이면 사다리꼴 ABCD입니다 이 때 변 AB는 변 CD와 평행하다고 할 수 있죠 그러므로 이 도형은 사다리꼴입니다 사다리꼴의 정의가 애매한 이유는 어떤 사람들은 정확히 한 쌍의 변이 평행해야 한다고 하고 다른 사람들은 적어도 한 쌍의 변이라고 하기 때문입니다 가장 많은 사람들이 사용하고 있는 정의는 정확히 한 쌍의 변이 평행해야 한다는 정의입니다 하지만 넓은 의미로 적어도라는 표현을 사용한다면 이런 도형도 사다리꼴로 간주할 수 있습니다 한 쌍의 평행한 변이 있고 다른 쌍의 변도 평행할 때 이런 도형도 사다리꼴일까요? 사다리꼴은 한 쌍의 변이 평행해야한다고 정의했습니다 이 정의에 따라 이 사각형이 사다리꼴인지 알아봅시다 정확히 한 쌍이 평행해야 한다면 이 도형은 두 쌍이 평행하므로 사다리꼴이 아닙니다 적어도 한쌍이 평행해야 한다면 사다리꼴이 맞습니다 이 물음표는 지우지 않을게요 사다리꼴의 정의에 상관없이 두 쌍의 변이 평행한 사각형은 평행사변형입니다 따라서 이 도형은 평행사변형이라고 정의할 수 있습니다 평행사변형 조금 더 크게 그립시다 사각형입니다 두 쌍의 변이 평행합니다 즉 두 쌍의 대변이 평행합니다 이 변은 이 변과 평행이고 이 변은 이 변과 평행입니다 평행사변형을 생각해 봅시다 평행사변형을 다시 분류할 수 있습니다 평행사변형의 네 각이 모두 직각이라면 직사각형입니다 그려 볼게요 이렇게 네 변이 있고 이 도형은 모두 평행사변형입니다 평행사변형 영역으로 표시해 봅시다 평행사변형은 대변끼리 서로 평행합니다 이 사각형의 네 각은 모두 90도죠 이전 동영상에서 다각형의 내각의 합을 계산하는 법을 알아보았어요 같은 방법으로 어떤 사각형의 내각의 합을 구하면 360도입니다 이 사각형은 모든 각의 크기가 90도인 직사각형입니다 대변이 서로 평행한 평행사변형이며 네 각이 직각입니다 네 각이 반드시 직각은 아니지만 네 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모라고 합니다 그려보죠 대변이 서로 평행하고 네 변의 길이가 같습니다 이 변의 길이는 이 변의 길이와 같고 이 변과 이 변과도 같습니다 따라서 이 도형은 마름모입니다 마름모는 평행사변형이고 모든 직사각형은 평행사변형입니다 하지만 모든 평행사변형이 직사각형은 아니며 모든 평행사변형이 마름모는 아닙니다 이제 직사각형이면서 동시에 마름모인 도형을 봅시다 여기는 직사각형의 영역이에요 벤다이어그램으로 표시해 볼게요 여기는 직사각형 집합이고 이 영역은 마름모 집합입니다 그러면 어떻게 될까요? 네 각이 직각이면서 네 변의 길이가 같습니다 이 도형을 그려보면 평행사변형이고 네 각이 직각이며 네 변의 길이가 같습니다 이 도형은 처음 배우는 것일 텐데요 이 도형은 정사각형입니다 모든 정사각형은 마름모이고, 직사각형이며 평행사변형입니다 하지만 모든 직사각형이 정사각형인 것은 아니며 모든 마름모가 정사각형인 것은 아닙니다 또한 모든 평행사변형이 정사각형인 것은 아닙니다 이 도형은 직사각형도 아니고 마름모도 아니며 정사각형도 아닙니다 지금까지 사각형의 분류에 대해 알아보았습니다 다음 동영상에서는 사각형의 성질에 대해 알아봅시다