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코스: 미국 8학년 > 단원 6

단원 3: 대칭이동

도형 대칭이동하기

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대칭이동 후의 도형을 어떻게 찾는지에 대해 배워 봅시다.

이번 개념 이해하기에서는 다양한 도형의 대칭이동을 배워볼 겁니다.

대칭선

대칭이동은 변환의 한 종류로, 거울과 원리가 비슷합니다. 대칭이동에서는 대칭선을 기준으로 모든 점을 완전히 반대 방향으로 이동시킵니다.

대칭선은 방정식이나 선을 지나는 두 점으로 정의할 수 있습니다.

파트 1: 점의 대칭이동

수평선을 기준으로 대칭이동하는 예제를 배워 봅시다

점

A (- 6, 7)

을 직선

y = 4

에 대하여 대칭이동한 점

A^{'}

의 좌표를 구하세요.

풀이

1 단계:

A

에서 수평선 방향으로 수직선을 그리고 크기를 잽니다.

대칭선이 완전히 수평하므로 이와 수직한 선은 완전히 수직일 것입니다.

2 단계: 같은 방향으로 똑같은 길이의 선분을 그립니다.

정답: 점

A^{'}

는

(- 6, 1)

입니다.

연습문제

점 $B (7, - 4)$ ‍를 직선 $x = 2$ ‍ 에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하세요.

심화문제

점 $(- 25, - 33)$ ‍을 직선 $y = 0$ ‍ 에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 무엇입니까?

(

,

)

대각선에 대하여 대칭이동하는 예제를 배워 봅시다

점

C (- 2, 9)

를 직선

y = 1 - x

에 대하여 대칭이동한 점

C^{'}

의 좌표를 구하세요.

풀이

1 단계: 점

C

에서 수평선 방향으로 수직선을 그리고 크기를 잽니다.

대칭선이 모눈종이를 정확히 대각선 방향으로 통과하고 있습니다. 이 선과 수직인 선은 다른 대각선 방향을 향해 있어야 합니다. 이것은 즉, 기울기가 $1$ ‍ 인 선은 기울기가 $-1$ ‍ 인 선과 항상 수직입니다.

편의상 직선의 길이를 "대각선의 개수"를 세어서 재어 봅시다.

2 단계: 같은 방향으로 똑같은 길이의 선분을 그립니다.

정답:점

C^{'}

는

(- 8, 3)

입니다.

연습문제

점 $D (3, - 5)$ ‍ 를 $y = x + 2$ ‍에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하세요.

심화문제

$y = x$ ‍에 대하여 점 $(- 12, 12)$ ‍를 대칭이동해 봅시다.

(

,

)

대칭선

y = x

는 기울기가

1

이므로 이 선과 수직을 이루는 선은 기울기가

- 1

이어야 합니다. 대칭선과 수직인 직선이

(- 12, 12)

를 지나야 하므로 알맞은 방정식은

y = - x

입니다.

(- 12, 12)

와 대칭인 점을 찾기 위해서

y = - x

직선 위를 따라서

y = x

직선과 접하는 지점까지 간 뒤에 온 거리만큼 똑같이 가면 원하는 지점을 구할 수 있습니다.

직선 $y = x$ ‍ 와 $y = - x$ ‍ 는 원점 $(0, 0)$ ‍ 에서 만납니다. 원점은 $(- 12, 12)$ ‍ 에서 $12$ ‍ 만큼 떨어져 있습니다. 따라서 구하는 지점은 대각선 반대 방향으로 $12$ ‍ 만큼 떨어져 있고, 이 지점의 좌표는 $(12, - 12)$ ‍ 입니다.

파트 2: 다각형의 대칭이동

예제

아래 사각형

E F G H

를 직선

y = x - 5

에 대하여 대칭이동하여 새로운 사각형

E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}

를 그려봅시다.

풀이

다각형을 대칭이동 시킬 때는 단순히 모든 꼭짓점 각각에 대해 대칭이동하면 됩니다 (다각형의 평행이동이나 회전이동 원리와 비슷합니다).

아래에 원래 도형의 꼭짓점과 대칭이동한 도형의 꼭짓점을 나타냈습니다. 대칭선을 기준으로

E

F

H

는 한쪽에 모여있고 반대편에는

G

가 있습니다. 대칭이동한 도형도 마찬가지 모습이지만 대칭선을 기준으로 위치만 바꿨습니다!

이제 꼭짓점을 이어 봅시다.

연습문제

연습문제 1

선분 $\overset{―}{I J}$ ‍ 와 $\overset{―}{K L}$ ‍ 을 직선 $y = - 3$ ‍에 대하여 대칭이동한 선분을 나타내세요 .

연습문제 2

$△ M N O$ ‍ 를 $y = - 1 - x$ ‍ 에 대하여 대칭이동 해보세요.

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