확대 및 축소의 성질

이번 시간에는 어떤 도형의 성질이 변환이 일어나도 보존되는지 또는 보존되지 않는지 알아봅시다 여기 사각형이 있고 점 P에 대해 변환을 할 것입니다 변환 도구를 이용해서 말이죠 첫 번째 질문입니다 이 꼭짓점들의 좌표는 보존되나요? 잠시 강의를 멈추고 생각해 보세요 자, 한 번 시도해 봅시다 임의의 변환에 대해서 좌표들은 보존되지 않아요 점 D에 대응하는 점은 다른 좌표를 가집니다 점 A에 대응하는 점 또한 다른 좌표를 가집니다 점 B와 C도 마찬가지죠 변환 후에, 대응하는 점들은 좌표평면의 다른 점에 위치합니다 따라서, 이 경우에는 꼭짓점의 좌표들이 보존되지 않습니다 다시 돌아와서 다음 질문입니다 다시 돌아와서 다음 질문입니다 변환 후, 대응하는 변들에 대해서 기존의 변들과 같은 직선상에 있나요? 다시 변환해 봅시다 이 점은 점 B와 대응하므로 B'이라고 한다면 변 B'C'은 변 BC와 같은 직선상에 있지 않습니다 변 B'C'은 변 BC와 같은 직선상에 있지 않습니다 그러나, 변 AD와 대응하는 변 A'D'은 그러나, 변 AD와 대응하는 변 A'D'은 같은 직선상에 있습니다 왜 그런지 생각해 보면 변 AD를 포함하는 직선을 그리면 변 AD를 포함하는 직선을 그리면 그 직선은 또한 점 P를 지나갑니다 따라서, 이 변을 확대해도 같은 직선상에 있게 됩니다 하지만 다른 변에 대해서는 성립하지 않습니다 왜냐하면 다른 변들을 포함하는 직선은 왜냐하면 다른 변들을 포함하는 직선은 점 P를 지나가지 않기 때문이죠 다시 확대해 봅시다 이렇게 되겠죠 자, 다음 질문입니다 각도는 보존되나요? 그런 것 같습니다 각도가 보존된다는 것은 각도가 보존된다는 것은 변환에 있어 사실입니다 이 각은 그대로 직각입니다 각 B의 크기는 각 B의 크기는 각 B'의 크기와 같습니다 여기 모든 점에 대해 성립합니다 마지막 질문입니다 변의 길이, 둘레, 넓이는 보존되나요? 밖을 향하여 변환하면 바로 확인할 수 있는데요 예를 들어, 변 AD에 대응하는 변은 더 커졌습니다 사실, 밖을 향하여 변환하면 변에 대응하는 모든 변은 커집니다 변이 커지면 둘레 또한 커지고 넓이도 커집니다 마찬가지로, 안쪽으로 변환하면 그 값들은 모두 작아집니다 따라서, 변의 길이, 둘레, 넓이는 보존되지 않습니다 자, 변환에 대한 또 다른 질문이 있습니다 재밌을 것입니다 도형의 한 꼭지점을 중심으로 변환을 시켜보려고 해요 스크롤을 내리겠습니다 같은 도구가 있네요 여기 삼각형 ABC가 있고 점 C에 대해 변환하고자 합니다 무엇보다도 꼭짓점의 좌표들은 보존될까요? 변환해 봅시다 점 C는 보존되죠 변환 후에도 같은 곳에 위치합니다 하지만 점 A와 B에 대응하는 점은 그렇지 않네요 이 점을 A'라고 하면 이 점은 확실히 A와 좌표가 다릅니다 그리고 B'도 B와 좌표가 다릅니다 그렇다면, 대응하는 변은 어떨까요? 같은 직선상에 있나요? 일부는 그렇고, 일부는 그렇지 않아요 예를 들어, 변환할 때 변 AC와 변 BC를 봅시다 변환할 때 대응하는 변을 확인할 수 있습니다 각 변을 A'C' 또는 B'C'으로 부릅니다 그들은 같은 직선상에 있죠 변환의 기준점인 점 C가 기존의 변 위에 있기 때문입니다 따라서, 바깥쪽으로 변환하면 길이가 늘어나게 됩니다 길이가 늘어나게 됩니다 혹은, 안쪽으로 변환하면 같은 직선상에 놓이면서 길이는 짧아집니다 하지만 어떤 변은 같은 직선상에 있지 않습니다 예를 들어, 변 A'B'는 변 AB와 같은 직선상에 있지 않습니다 그렇다면, 각도의 크기는 어떻게 될까요? 이미 해봤죠 변환에서 각도의 크기는 보존됩니다 각 C의 크기는 그대로이고 각 A', 각 B'의 크기도 마찬가지입니다 각 A', 각 B'의 크기도 마찬가지입니다 마지막으로, 변의 길이는 어떻죠? 보다시피, 바깥으로 변환할 때 변의 길이는 증가하지만 안쪽으로 변환하면 감소합니다 따라서 변의 길이는 보존되지 않습니다 변의 길이가 보존되지 않으면 둘레도 보존되지 않습니다 넓이 또한 마찬가지입니다 넓이를 변의 길이에 대한 함수로 볼 수 있어요 바깥으로 변환하면 둘레도 커지고 넓이도 커집니다 안으로 변환하면 둘레와 넓이 모두 줄어듭니다