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미국 8학년

코스: 미국 8학년 > 단원 4

단원 3: 대입법을 이용하여 연립방정식 풀기

대입법을 이용하여 연립방정식 풀기

대입법을 이용하여 연립방정식 예제를 풀어 봅시다.

다음 연립방정식의 해를 구해 봅시다:

y, equals, 2, x, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, 방, 정, 식, space, 1, end text, end color gray

x, plus, y, equals, 24, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, 방, 정, 식, space, 2, end text, end color gray

두 미지수 x와 y가 있다는 점 때문에 해를 구하기 어렵습니다. 미지수 하나를 없앨 수 있다면...

좋은 방법은 있습니다! 방정식 1에 따르면 start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10와 start color #e07d10, y, end color #e07d10가 같습니다. 그러니 방정식 2에 start color #e07d10, y, end color #e07d10대신 start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10를 대입하여 미지수 y를 소거해 봅시다:

$\begin{aligned} x + \goldD y &= 24 &\gray{\text{방정식 2}} \\\\ x + \goldD{2x} &= 24 &\gray{\text{y에 2x를 대입합니다}}\end{aligned}$

훌륭해요! 이제 방정식에는 미지수 x만 남았습니다. 이건 어떻게 푸는지 알죠:

$\begin{aligned} x + \goldD{2x} &= 24\\\\ 3x&= 24\\\\\ \dfrac{3x}{\maroonD3}&= \dfrac{24}{\maroonD3}&\gray{\text{양변을 3으로 나눕니다}}\\\\ \blueD{x}&\blueD= \blueD8&\gray{\text{}}\end{aligned}$

좋아요! 이제 x가 8이라는 것을 알게 되었습니다. 하지만 구해야 하는 것은 순서쌍입니다. y값도 알아야 하죠. 첫 번째 방정식에서 x가 8일 때 y의 해를 구해 봅시다:

$\begin{aligned} y &= 2\blueD x &\gray{\text{방정식 1}} \\\\ y &= 2(\blueD8) &\gray{\text{ x에 8을 대입합니다}}\\\\ \greenD y &\greenD= \greenD{16}\end{aligned}$

잘했어요! 연립방정식의 해는 left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, comma, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis입니다. 답이 맞는지 확인하기 위해 원래 방정식에 대입해 봅시다.

첫 번째 방정식을 확인해 봅시다:

$\begin{aligned} y &= 2x \\\\ \greenD{16} &\stackrel?= 2(\blueD{8}) &\gray{\text{x = 8과 y = 16을 대입합니다}}\\\\ 16 &= 16 &\gray{\text{맞았습니다!}}\end{aligned}$

두 번째 방정식을 확인해 봅시다:

$\begin{aligned} x +y &= 24 \\\\ \blueD{8} + \greenD{16} &\stackrel?= 24 &\gray{\text{x = 8과 y = 16을 대입합니다}}\\\\ 24 &= 24 &\gray{\text{맞습니다!}}\end{aligned}$

좋아요! left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, comma, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis는 해가 맞습니다. 실수하지 않고 잘 풀었네요.

이제 대입법을 이용하여 연립방정식을 직접 풀어 봅시다.

대입법을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하세요.

4, x, plus, y, equals, 28

y, equals, 3, x

x, equals

y, equals

[풀이 보기]

미지수 하나의 해를 구한 후 대입법을 이용하여 풀기

가끔 대입법을 이용하는 것은 조금 까다로울 수 있습니다. 여기 연립방정식이 있습니다:

minus, 3, x, plus, y, equals, minus, 9, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, 방, 정, 식, space, 1, end text, end color gray

5, x, plus, 4, y, equals, 32, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, 방, 정, 식, space, 2, end text, end color gray

두 방정식 모두 x또는 y에 대해서 정리되어있지 않습니다. 따라서, 가장 먼저 해야될 것은 x 또는 y에 대해 식을 정리하는 것입니다. 그 과정은 다음과 같습니다:

1단계: 방정식 하나를 이용하여 미지수 하나를 구합니다.

첫 번째 방정식을 이용하여 y의 해를 구해 봅시다:

$\begin{aligned} -3x + y &= -9 &\gray{\text{방정식 1}} \\\\ -3x + y + \maroonD{3x} &= -9 +\maroonD{3x} &\gray{\text{양변에 3x를 더합니다}} \\\\ y &= {-9 +3x} &\gray{\text{}}\end{aligned}$

2단계:두 번째 방정식을 원래 방정식에 대입해, x값을 구합니다.

$\begin{aligned} 5x + 4\goldD y &= 32 &\gray{\text{방정식 2}} \\\\ 5x +4(\goldD{-9 + 3x}) &= 32 &\gray{\text{y에 -9 + 3x를 대입합니다}} \\\\ 5x -36 +12x &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x - 36 &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x &= 68 &\gray{\text{}} \\\\ \blueD x &\blueD= \blueD4 &\gray{\text{양변을 17로 나눕니다}}\end{aligned}$

3단계: x, equals, 4를 넣어 y 값을 구합니다.

$\begin{aligned} -3\blueD x + y &= -9 &\gray{\text{첫 번째 방정식}} \\\\ -3(\blueD{4}) +y &= -9 &\gray{\text{x에 4를 대입합니다}} \\\\ -12 + y &= -9 &\gray{\text{}} \\\\ \greenD y &\greenD= \greenD3 &\gray{\text{양변에 12를 더합니다}} \end{aligned}$