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미국 8학년

코스: 미국 8학년 > 단원 4

단원 3: 대입법을 이용하여 연립방정식 풀기

대입법을 이용하여 연립방정식 풀기

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대입법을 이용하여 연립방정식 예제를 풀어 봅시다.

다음 연립방정식의 해를 구해 봅시다:

$y = 2 x 방정식 1$ ‍

$x + y = 24 방정식 2$ ‍

두 미지수

x

와

y

가 있다는 점 때문에 해를 구하기 어렵습니다. 미지수 하나를 없앨 수 있다면...

좋은 방법은 있습니다! 방정식

1

에 따르면

2 x

와

y

가 같습니다. 그러니 방정식

2

에

y

대신

2 x

를 대입하여 미지수

y

를 소거해 봅시다:

$\begin{aligned} x + y & = 24 & 방정식 2 \\ x + 2 x & = 24 & y에 2x를 대입합니다 \end{aligned}$ ‍

훌륭해요! 이제 방정식에는 미지수

x

만 남았습니다. 이건 어떻게 푸는지 알죠:

$\begin{aligned} x + 2 x & = 24 \\ 3 x & = 24 \\ \frac{3 x}{3} & = \frac{24}{3} & 양변을 3으로 나눕니다 \\ x & = 8 \end{aligned}$ ‍

좋아요! 이제

x

가

8

이라는 것을 알게 되었습니다. 하지만 구해야 하는 것은 순서쌍입니다.

y

값도 알아야 하죠. 첫 번째 방정식에서

x

가

8

일 때

y

의 해를 구해 봅시다:

$\begin{aligned} y & = 2 x & 방정식 1 \\ y & = 2 (8) & x에 8을 대입합니다 \\ y & = 16 \end{aligned}$ ‍

잘했어요! 연립방정식의 해는

(8, 16)

입니다. 답이 맞는지 확인하기 위해 원래 방정식에 대입해 봅시다.

첫 번째 방정식을 확인해 봅시다:

$\begin{aligned} y & = 2 x \\ 16 & \overset{?}{=} 2 (8) & x = 8과 y = 16을 대입합니다 \\ 16 & = 16 & 맞았습니다! \end{aligned}$ ‍

두 번째 방정식을 확인해 봅시다:

$\begin{aligned} x + y & = 24 \\ 8 + 16 & \overset{?}{=} 24 & x = 8과 y = 16을 대입합니다 \\ 24 & = 24 & 맞습니다! \end{aligned}$ ‍

좋아요!

(8, 16)

는 해가 맞습니다. 실수하지 않고 잘 풀었네요.

이제 대입법을 이용하여 연립방정식을 직접 풀어 봅시다.

대입법을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하세요.

$4 x + y = 28$ ‍

$y = 3 x$ ‍

x =

y =

[풀이 보기]

미지수 하나의 해를 구한 후 대입법을 이용하여 풀기

가끔 대입법을 이용하는 것은 조금 까다로울 수 있습니다. 여기 연립방정식이 있습니다:

$- 3 x + y = - 9 방정식 1$ ‍

$5 x + 4 y = 32 방정식 2$ ‍

두 방정식 모두

x

또는

y

에 대해서 정리되어있지 않습니다. 따라서, 가장 먼저 해야될 것은

x

또는

y

에 대해 식을 정리하는 것입니다. 그 과정은 다음과 같습니다:

1단계: 방정식 하나를 이용하여 미지수 하나를 구합니다.

첫 번째 방정식을 이용하여 $y$ ‍의 해를 구해 봅시다:

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & 방정식 1 \\ - 3 x + y + 3 x & = - 9 + 3 x & 양변에 3x를 더합니다 \\ y & = - 9 + 3 x \end{aligned}$ ‍

2단계:두 번째 방정식을 원래 방정식에 대입해, $x$ ‍값을 구합니다.

$\begin{aligned} 5 x + 4 y & = 32 & 방정식 2 \\ 5 x + 4 (- 9 + 3 x) & = 32 & y에 -9 + 3x를 대입합니다 \\ 5 x - 36 + 12 x & = 32 \\ 17 x - 36 & = 32 \\ 17 x & = 68 \\ x & = 4 & 양변을 17로 나눕니다 \end{aligned}$ ‍

3단계: $x = 4$ ‍를 넣어 $y$ ‍ 값을 구합니다.

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & 첫 번째 방정식 \\ - 3 (4) + y & = - 9 & x에 4를 대입합니다 \\ - 12 + y & = - 9 \\ y & = 3 & 양변에 12를 더합니다 \end{aligned}$ ‍

따라서 방정식의 해는

(4, 3)

입니다.

[원래 방정식에 대입해 해가 맞는지 알아봅시다.]

연습문제

1) 대입법을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하세요.

$2 x - 3 y = - 5$ ‍

$y = x - 1$ ‍

x =

y =

[풀이 보기]

2) 대입법을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하세요.

$- 7 x - 2 y = - 13$ ‍

$x - 2 y = 11$ ‍

x =

y =

[풀이 보기]

3) 대입법을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하세요.

$- 3 x - 4 y = 2$ ‍

$- 5 = 5 x + 5 y$ ‍

x =

y =

[풀이 보기]

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