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여기 방정식이 하나 있습니다 y=x+3 그리고 저는 모든 집합들을 그래프로 그리고 싶습니다 이 방정식을 만족하는 모든 (x,y)꼴 순서쌍을요 우린 이걸 전에도 여러번 했었습니다 이제 우리의 축들을 그립니다 이게 저의 y축이고 이게 저의 x축입니다 그리고 이건 이미 y=mx+b 형태(y=ax+b), 또는 기울어지고 y축에 걸쳐진 형태로 존재하네요 여기 y절편은 y= 3 이고, 여기 기울기는 1이죠 그래서 이 직선은 이렇게 생겼을 겁니다 (0,3)에서 만납니다 - 1, 2, 3 (0,3)에서요 그리고 우리의 기울기는 1이니까 오른쪽으로 1씩 갈 때마다 위로 1씩 올라가는 거죠 그러니까 직선은 대충 이렇게 생겼을 거에요 충분히 괜찮은 개형이죠 그래서 직선이 이렇게 생겼을 거고요 그리고 기억하세요 제가 직선을 그리면 이 직선 위 모든 점들은 이 방정식에 대한 해입니다 즉 이 직선은 이 방정식을 만족시키는 x와 y 쌍들을 나타내는 거죠 그러니까 x가 5라고 했을 때 직선에서 보면 그 직선에서 x가 5일 땐, y가 8인 게 되는 거죠 그리고 그 해가 직선 위에 있는 겁니다 이 직선은 이 방정식의 해의 집합을 나타내는 거에요 y를 만족시키는 모든 좌표는 x+3과 같은 겁니다 그러면 이제 다른 방정식이 있다고 해볼게요 우리가 y는 마이너스x 더하기 3이라는 방정식이 있다고 해볼게요 그리고 우리는 이 방정식을 만족시키는 모든 x와 y 순서쌍을 그래프로 나타내고 싶어요 이번에도 똑같이 하면 되겠습니다 이것도 y절편은 바로 3이네요 그런데 기울기는 마이너스 1이죠 그러니까 아마 이렇게 생겼겠죠 오른쪽으로 1만큼 갈 때마다 1씩 내려가는 거에요 아니면 오른쪽으로 엄청 많이 움직이면 그만큼 많이 밑으로 내려가는 거죠 그러니까 이 방정식은 이렇게 생겼을 거고요 그리고 이 직선의 모든 점은 이 방정식을 만족시키는 x와 y 순서쌍을 나타내는 거죠 이제 만약 제가 묻는다면, 이 두 방정식을 모두 만족시키는 x와 y순서쌍이 있나요? 이 두 방정식 모두를 만족시키는 점이나 좌표가 있나요? 생각해 보세요 이 첫번째 방정식을 만족시키는 모든 집합들은 여기 이 초록색 직선 위에 있고, 이 보라색 방정식을 만족시키는 모든 집합은 여기 이 보라색 직선 위에 있어요 그러니까 어떤 게 두 개 다를 만족시키죠? 만약 두 직선 모두에 해당되는 점이 있다면 아니면 본질적으로, 두 직선의 교차점이 있다면요 이 상황에선 이 점이 두 직선 모두 위에 있죠 그리고 그건 사실 y절편이에요 그러니까 점(0,3)이 두 직선 모두의 위에 있는 거죠 그러니까 이 순서쌍 좌표, 또는 이 x와 y순서쌍은 두 방정식 모두를 만족시킬 거에요 여러분이 직접 대입해 보면 되죠 여기서 x가 0일 때, 0+3=3 여기서도 x가 0일 때, 0+3=3 그래서 두 방정식 모두를 만족시키는 거죠 그러니까 우리가 방금 한 것은 그래프를 이용해서 연립방정식을 푼 거에요 연립방정식을 푼 거에요 연립방정식을 여기 써볼게요 그리고 그게 의미하는 바는 우리가 방정식 몇 개를 가지고 있고 각각의 그것이 우리의 x와 y를 정합니다 그러니까 이 경우에는 첫번째 것은 y=x+3이고 두번째 것은 y=-x+3이잖아요? 그래서 이것이 그걸 xy좌표평면에서 한 직선으로 제한했고 이건 우리의 해의 집합을 xy좌표평면의 직선으로 제한한 거죠 그리고 우리가 두 방정식 모두를 만족시키는 x와 y 집합을 알고 싶다면 그건 이 두 직선의 교차점이 되는 겁니다 그래서 이 연립방정식이란 걸 푸는 한 가지 방법은 두 직선 모두를 그리고, 그런 다음 그들의 교차점을 찾는 거에요 그리고 바로 그게 이 두 방정식의 공통의 해가 되는 거죠 다음 몇 개의 비디오들에선 우리는 그걸 푸는 다른 방법들을 배울 거고, 그것들은 아마 덜 기하학적이고 어쩌면 좀더 수학적일 거에요 하지만 저는 여러분이 연립방정식을 풀 때 기하학적인 사고방식을 이해했으면 해요 하나 더 해보도록 하죠 y=3x-6 이라고 해봅시다 그게 우리의 방정식들 중 하나에요 그리고 다른 하나의 방정식은 y=-x+6이라고 합시다 그리고 저번 비디오와 같이, 이 직선 두개를 그려 볼게요 최대한 정확하게 해 보겠습니다 됐네요 여기도 그려 볼까요 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 그리고 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 (그냥 눈금종이를 여기다 복사붙여넣기 할걸 그랬네요) 이렇게 해도 될 것 같습니다 그러니까 이제 이 보라색 방정식을 그려 봅시다 y절편은 마이너스6이니까, 여기 또 한번 눈금을 그려 볼게요 1,2,3,4,5,6 그러니까 y는 마이너스6이죠 그리고 기울기는 3이에요 그러니까 오른쪽으로 1씩 움직일 때마다 3씩 올라가는 거에요 여러분이 오른쪽 1로 가면 1만큼 움직인 거니까 올라가는 건 1,2,3이죠 이게 3 맞죠? 그러니까 방정식은, 직선은 이렇게 생겼을 거에요 그리고 아마 (2,0)에서 x축과 만나는 것 같네요 3곱하기 2는 6, 6 빼기 6은 0이니까요 그러니까 우리의 직선은 아마 대충 이렇게 생겼을 것 같네요 저게 그 직선이에요 그럼 이 직선은 어떨까요? 우리의 y절편은 플러스6이고 1,2,3,4,5,6 우리의 기울기는 마이너스1이죠 그러니까 우리가 오른쪽으로 1씩 갈 때마다 밑으로 1씩 내려가는 거에요 그리고 이 직선은 우선, y가 0일때 x는 6이겠죠 1,2,3,4,5,6 그러니까 바로 여기에요 그래서 이 직선은 이렇게 생겼을 거고요 이 그래프를 최대한 정확하게 그리고 싶어요 그리고 나서 우리는 우리 자신에게 똑같은 질문을 할 거에요 이 방정식 두 개 모두를 만족시키는 x,y 순서쌍이 무엇인가? 여기 보시면 바로 이 점이 되겠죠 이 점이 두 직선의 교차점이니까요 그리고 이 점이 무엇인지 알아낼 수 있나 볼게요 그냥 이 그래프를 보면 이 점이 (1,2,3 )( 1,2,3)에 있는 것 같네요 바로 여기 이 점과 같습니다 그 점은 바로 (3,3)입니다 그냥 제가 손으로 그린 그래프로 보는 거라서 어쩌면 정확하지 않을 수도 있어요 정답이 맞나 확인해 볼게요 x가 3이면, y가 3인 것이 정말 두 방정식 모두를 만족시키는지 볼게요 그래서 우리가 이걸 첫 번째 방정식에 대입해 보면, 3=3x3-6인걸 알겠죠 그건 9 빼기 6이에요, 3이 맞죠 그래서 (3,3)이 위에 있는 방정식은 만족시켜요 그리고 밑에 있는 방정식도 만족시키는지 봅시다 3=-3+6인 걸로 나오죠, 그리고 -3+6은 정말 3이 맞네요 그러니까 우리가 손으로 그린 그래프로도, 우리는 그걸 검산할 수 있었고 맞아요 우리는 (3,3)이라는 점을 얻을 수 있었어요 그건 정말로 두 방정식 모두를 만족시키죠 그래서 우리는 이 연립방정식도 풀 수 있었어요 우리가 연립방정식이라고 할 때, 우리는 그저 여러 개의 미지수를 가진 여러 개의 방정식을 뜻하는 거에요 그러지 않아도 되지만, 대부분 1개의 미지수 이상이곤 하죠 그리고 여러분은 각각의 방정식을 여러분의 미지수에 제한을 두기 위해 사용하는 거고, 방정식 간의 교차점을 찾으려 해서 두 개 다의 해를 찾는 거죠 다음 몇 개의 영상에서는, 우리는 이렇게 그래프를 그리는 것보다 좀더 대수학적인 접근을 알아볼 거에요